Geodesia e gravimetria

 

La Geodesia è la disciplina che studia la forma e le dimensioni della Terra. La prima stima delle dimensioni terrestri viene fatta risalire ad Eratostene (Cirene 273 - Alessandria 192 a.C.), il quale determinò la lunghezza della circonferenza terrestre misurando l'ampiezza dell'arco di meridiano che univa Alessandria ad Assuan (l'antica Siene).

 

Eratostene aveva notato che durante il solstizio d'estate a mezzogiorno i raggi solari risultavano perpendicolari a Siene, mentre ad Alessandria producevano ombra. L'inclinazione dei raggi solari rispetto alla verticale di Alessandria fu misurata da Eratostene in 1/50 di angolo giro.

 

 

 

Poichè tale angolo è evidentemente uguale all'angolo al centro che sottende l'arco di meridiano che unisce Alessandria a Siene e la distanza tra le due città era allora stimata in 5.000 stadi egiziani, una semplice proporzione permette di calcolare la lunghezza dell'intera circonferenza, pari a 50 volte 5.000 stadi (250.000 stadi, valore sorprendentemente vicino alle stime attuali).

Il metodo di Eratostene è fondamentalmente usato ancora oggi. Esso pone però dei problemi per quel che riguarda l'accuratezza e l'attendibilità nella misura delle lunghezze (gli angoli si misurano con estrema precisione).  Si pensi ad esempio che nel 1527 J. Fernel, medico di corte del re di Francia, valutò la distanza tra Parigi ed Amiens contando il numero di giri effettuati dalle ruote della sua carrozza, ottenendo una misura del grado di meridiano di 111 km.

 

La misura delle lunghezze giunse ad una precisione accettabile con l'introduzione del metodo della triangolazione. Nel 1617 l'olandese Willebrord Snell (Snellius) pubblicò i risultati del primo rilevamento geodetico (1615) eseguito con tale metodo (proposto verso la fine del '500 da Brahe), in cui ottenne come lunghezza del grado di meridiano 55.100 tese (circa 107,4 km).

Il metodo si basa sulla individuazione sulla superficie terrestre di una catena di triangoli aventi vertici e lati in comune, costruiti in modo da raccordare gli estremi A e G dell'arco di meridiano. Si esegue con grande precisione la misura di un solo lato (base geodetica) di cui si determina anche l'orientamento rispetto al meridiano, mentre tutti gli altri lati si ricavano dalle misure degli angoli (molto più semplici e precise da effettuare rispetto alle misure di distanza), utilizzando le usuali regole della trigonometria. La misura dell'arco AG si ottiene come somma delle proiezioni dei lati dei triangoli sul meridiano stesso.

Fino alla metà del Seicento si riteneva che la terra fosse perfettamente sferica. Ciò comportava che la misura di un arco di meridiano di 1° poteva essere effettuata a qualsiasi latitudine, fornendo sempre il medesimo risultato. I primi dubbi sul fatto che la terra fosse una sfera perfetta sorsero in seguito ai risultato conseguiti nel 1671 dall'astronomo francese J. Richer.

Nell'ambito delle attività promosse dalla Académie des Sciences di Parigi, Richer si era trasferito nell'isola di Cayenne nella Guyana francese, per osservare in contemporanea con G.D. Cassini (Cassini I), rimasto a Parigi, un'opposizione di Marte. Lo scopo della duplice osservazione era di determinare la parallasse del pianeta, essendo nota la distanza tra i due punti di osservazione (base parallattica). Ma Richer scoprì che in Guyana, a 5° di latitudine nord, il pendolo che si era portato da Parigi per la misura del tempo ritardava di circa 2,5 minuti al giorno. Richer spiegò il fenomeno ipotizzando che la terra non fosse perfettamente sferica, ma rigonfia nelle zone equatoriali.

 

Venuto a conoscenza del fenomeno, Newton, che in quel periodo lavorava alla sua teoria della gravitazione, intuì che l'effetto sul pendolo poteva essere spiegato con una diminuzione locale del valore dell'accelerazione di gravità g.

Il periodo di oscillazione di un pendolo di lunghezza l è infatti pari a

 

In effetti la diminuzione che il valore di g manifesta mentre ci si avvicina all'equatore è dovuta a due componenti:

a) aumento della forza centrifuga, legato all'aumento della distanza D dall'asse di rotazione

b) diminuzione della forza gravitazionale, legata alla maggior distanza R dal centro della terra

 

L'accelerazione di gravità g è infatti il risultato della composizione di due vettori: l'accelerazione centrifuga (ac = 2 D) e l'accelerazione dovuta alla sola forza di attrazione gravitazionale o newtoniana (aN = )

 

Se ipotizziamo che la terra si possa comportare almeno parzialmente come un fluido, la forza centrifuga, il cui valore cresce costantemente dai poli (dove è nulla, D = 0) all'equatore (dove assume il valore massimo (D = R), deve averla deformata, provocando un rigonfiamento all'equatore ed una depressione ai poli. Il raggio terrestre non deve quindi essere costante alle varie latitudini e con esso anche l'arco di meridiano di 1°.

In base a considerazioni teoriche Newton era dunque convinto dello schiacciamento polare della terra, mentre in Francia Cassini sosteneva che la terra fosse protuberante ai poli.

 

 

Ora, poiché si può dimostrare che se la terra è rigonfia all'equatore un grado di meridiano assume il suo valore massimo nelle zone polari, per diminuire man mano che ci spostiamo verso le basse latitudini, la questione poteva essere risolta misurando e confrontando archi di meridiano di egual ampiezza misurati a diverse latitudini.

 

Tra il 1669 ed il 1670 Picard aveva misurato un arco di meridiano tra Parigi ed Amiens. Utilizzando tale misura i geodeti dell'Accademie delle Scienze di Parigi, prolungarono e misurarono verso nord (fino a Dunkerque) e verso sud (fino a Collioure) l'arco misurato da Picard. I risultati ottenuti (1683 - 1718) sembrarono inizialmente confermare l'ipotesi di Cassini del rigonfiamento polare. Ma le misurazioni apparivano eccessivamente imprecise per essere accettate come definitive.

Per poter ottenere dati  conclusivi l'Accademia delle Scienze inviò due spedizioni a misurare un grado di meridiano al polo e all'equatore, dove le eventuali differenze sarebbero state sicuramente evidenti.

La prima (1736 - 1737) in Lapponia, diretta da Maupertuis e alla quale partecipò anche Clairaut, trovò che l'arco di un grado di meridiano misurato in prossimità del polo nord era inequivocabilmente più lungo dell'arco di un grado misurato in Francia da Picard. Il risultato venne definitivamente confermato anche dalla seconda spedizione in Perù (1735 - 1744), alla quale partecipò tra gli altri Bouguer.

 

Sferoide ed ellissoide

Uno dei compiti fondamentali della geodesia è dunque descrivere la forma di tale sfera deformata.

Se ipotizziamo che la terra si comporti come una sfera fluida in equilibrio sotto l'azione delle forze ad essa applicate (gravitazionali e centrifughe), la sua superficie dovrebbe disporsi sempre perpendicolarmente alla risultante di tali forze (gravità), in modo tale che non si produca nessun lavoro netto che possa ulteriormente modificarne la forma (un movimento perpendicolare alla forza non compie infatti lavoro).

Tale superficie teorica può essere calcolata e prende il nome di sferoide. L'equazione in coordinate polari assume la forma (trascurando i termini in con potenze superiori alla prima)

 

1)           

 

 

 

 

Dove Rc indica la distanza dal baricentro dello sferoide e c la latitudine geocentrica. Il significato dei parametri a ed si ricava facilmente.

Infatti per c = 0° e quindi sen2 c = 0, Rc = a (semiasse maggiore o raggio equatoriale).

Mentre ponendo c = 90° e quindi sen2 c = 1, poiché ai poli deve essere Rc = b (semiasse minore o raggio polare), la relazione diventa

dove  è definito schiacciamento polare (o ellitticità o ellissoidicità).

Se ora si prende in considerazione l'ellissoide di rotazione che ha gli stessi semiassi (a e b) dello sferoide, si trova che esso coincide in pratica con lo sferoide (le differenze nel raggio non superano i 14 metri). Poichè per i calcoli l'ellissoide risulta più semplice, si è convenuto di assumere quest'ultimo come superficie teorica di riferimento per rappresentare la forma della terra.

L'equazione in coordinate cartesiane di una sezione meridiana dell'ellissoide è

per trasformare tale equazione in coordinate polari, notiamo come le coordinate x e y di un generico punto P sulla superficie dell'ellissoide rappresentino la proiezione del raggio Rc sugli assi cartesiani e quindi

 

 

Nell'ellisse il rapporto tra le dimensioni reciproche dei due semiassi è espresso da un parametro detto eccentricità e, per il quale vale la relazione

 

3)        

 

Eseguendo le opportune sostituzioni, si ottiene l'equazione dell'ellisse in coordinate polari in funzione della latitudine geocentrica

 

ed essendo sen2  = 1 -  cos2  , si ottiene infine

4)       

 

Si noti come tra schiacciamento polare ed eccentricità e sussista la seguente relazione

 

5)               e2 = 2 - 2

 

Tenendo conto della 3) e della 5) la relazione 4) può essere scritta

6)     

 

 

Coordinate geocentriche e geografiche

La relazione 4) non può essere utilizzata direttamente per calcolare la distanza di un punto P dal centro della terra o la lunghezza di un arco di meridiano, in quanto noi non misuriamo la latitudine geocentrica (c), ma la latitudine geografica o geodetica (g), cioè l'angolo che la verticale del luogo (direzione del filo a piombo) forma con il piano equatoriale.

Possiamo comunque calcolare quale sarebbe la direzione della verticale teorica sull'ellissoide di riferimento e determinare di conseguenza la relazione tra latitudine geocentrica e latitudine geografica ellissoidica. Si noti comunque che la verticale ellissoidica è solo teorica in quanto non coincide necessariamente con la verticale vera (filo a piombo). Ciò è dovuto all'esistenza di disturbi gravitazionali locali (anomalie gravimetriche), legati alla non omogenea distribuzione delle masse terrestri, che producono deviazioni sul filo a piombo.

 

 

L'inclinazione della tangente alla curva in coordinate polari vale

 

dove con R' indichiamo la derivata prima della funzione che per l'ellisse 4) vale

 

sostituendo opportunamente nella relazione precedente e semplificando otteniamo

 

Poichè l'inclinazione della retta normale (verticale) alla tangente vale

potremo infine scrivere

7)   

o, tenendo presente la 3) e la 5),

 

     e        

 

 

Le dimensioni dell'ellissoide

Per poter fissare in modo univoco le dimensioni dell'ellissoide di riferimento è necessario determinare il valore di almeno due parametri. In genere viene determinato il valore del semiasse maggiore (a) e dello schiacciamento polare ().

La determinazione di tali parametri può essere fatta confrontando misure di lunghezza di archi di meridiano fatte a latitudini diverse.

La lunghezza di un arco s di curva in coordinate polari, compreso tra l'angolo A e B è

Se utilizziamo tale relazione per calcolare un arco di ellisse a diverse latitudini geocentriche usando la funzione 6) troviamo che gli archi di un ellisse che sottendono angoli di pari ampiezza sono in realtà più lunghi nella zona equatoriale. Il problema si risolve o sostituendo i limiti di integrazione in funzione delle coordinate geografiche utilizzando la 7)

 

 

o, più semplicemente, utilizzando la relazione che fornisce il raggio di curvatura in funzione della latitudine geografica ellissoidica g.

8)     

 

Il raggio di curvatura in un punto P di una curva è il raggio del cerchio osculatore, cioè del cerchio che presenta, nel punto considerato, la medesima curvatura della curva. Nel punto P curva e cerchio osculatore presentano un tratto d'arco infinitesimo ds in comune. Tale arco può quindi essere ottenuto come prodotto tra il raggio e l'angolo infinitesimo d (espresso in radianti) ad esso sotteso

 

ds = d

 

integrando dunque tra le latitudini geografiche 1 e 2 si ottiene la lunghezza dell'arco di meridiano tra esse compreso.

9)      

 

Se dunque disponiamo di almeno due misure di lunghezza di un arco di meridiano effettuate a latitudini diverse, ad esempio l'arco di meridiano sA-B compreso tra le latitudini A e B  e l'arco di meridiano sM-N compreso tra le latitudini M e N, possiamo evidentemente scrivere un sistema di due equazioni nelle incognite e2 ed a.

 

 

La soluzione di tale sistema permette di determinare le dimensioni dell'ellissoide.

In effetti per ottenere risultati attendibili è necessario effettuare molte misurazioni. Ciò è dovuto al fatto che nelle relazioni utilizzate per i calcoli compaiono le latitudini geografiche ellissoidiche (riferite alla verticale teorica sull'ellissoide), mentre noi misuriamo le latitudini geografiche astronomiche (l'altezza delle stelle sull'orizzonte riferita alla verticale vera). Poichè d'altra parte le deviazioni del filo a piombo rispetto alla verticale teorica ellissoidica si distribuiscono casualmente sia in eccesso che in difetto, in un numero elevato di misurazioni  le deviazioni assumono carattere di errore accidentale, eliminabile con opportuni procedimenti statistici di calcolo.

 

Con lo scopo di promuovere le ricerche sulla forma e le dimensioni della Terra, nel 1861 venne fondata l"Associazione Internazionale per la Misura del Grado" trasformatasi poi nell'"Unione Geodetica e Geofisica Internazionale" (IUGG).

 

	anno	a	1/
Maupertuis	1738	6 397 300	191
Delambre	1810	6 376 985	308,64
Everest	1830	6 377 276,345	300,801 7
Airy	1830	6 377 563,396	299,324 964 6
Bessel	1841	6 377 397,155	299,152 812 8
Clarke	1866	6 378 206,4	294,978 698 2
Clarke	1880	6 378 249,145	293,4663
Helmert	1906	6 378 200	298,3
Hayford	1909	6 378 388	297
Internazionale	1930	6 378 388	297
Krassovskij	1947	6 378 245	298,3
WGS 60	1960	6 378 165	298,3
WGS 66	1966	6 378 145	298,25
GRS 67	1967	6 378 160	298,247 167 427
WGS 72	1972	6 378 135	298,26
IAU 76	1976	6 378 140 ± 5	298,257
GRS 80	1980	6 378 137	298,257 222 101
WGS 84	1984	6 378 137	298,257 223 563
GPS		6 378 137	298,257 92

 

GRS = Geodetic Reference System (IUGG)

WGS = World Geodetic System

GPS = Global Positioning System

 

L'appiattimento può essere calcolato anche con misure gravimetriche.

 

Gravimetria 

Essendo l'ellissoide una superficie teorica equipotenziale è possibile calcolare in modo preciso il valore del campo gravitazionale teorico ad essa associato. Il valore dell'accelerazione di gravità teorica sull'ellissoide è detto gravità normale .

La gravità normale può essere calcolata in modo rigoroso, ma si preferisce usare i primi termini di uno sviluppo in serie di calcolo più semplice.