I riassunti , gli appunti i testi contenuti nel nostro sito sono messi a disposizione gratuitamente con finalità illustrative didattiche, scientifiche, a carattere sociale, civile e culturale a tutti i possibili interessati secondo il concetto del fair use e con l' obiettivo del rispetto della direttiva europea 2001/29/CE e dell' art. 70 della legge 633/1941 sul diritto d'autore
Le informazioni di medicina e salute contenute nel sito sono di natura generale ed a scopo puramente divulgativo e per questo motivo non possono sostituire in alcun caso il consiglio di un medico (ovvero un soggetto abilitato legalmente alla professione).
1 -Reattanza di autoinduzione di un toro
Consideriamo un nucleo toroidale di materiale ferromagnetico uniformemente avvolto da un avvolgimento di N spire percorso dalla corrente i(t), che quindi genera una Fmm M = N i.
Se supponiamo che il flusso disperso sia nullo (permeabilità del ferro molto elevata) e che il campo H sia uniformemente distribuito all’interno del nucleo (materiale omogeneo ed isotropo nella direzione del campo) si ha
Si ha quindi
; 
Indicando con S la sezione del nucleo toroidale, il flusso nel nucleo è dato da
dove il termine 
è la permeanza del circuito magnetico considerato (
).
La Fem di autoinduzione nell’avvolgimento risulta quindi
e la tensione ai capi dell’avvolgimento è data da
dove il termine 
rappresenta l’induttanza dell’avvolgimento.
Se la corrente è alternata sinusoidale con frequenza f si ha una reattanza
Questa relazione, pur riferendosi ad un caso semplice, evidenzia bene la struttura di tutte le formule relative alle reattanze:
2 – Potenza magnetizzante
Consideriamo un sistema di grandezze alternate di pulsazione w, e facciamo riferimento ad una caratteristica di magnetizzazione lineare (tratto iniziale, lontano dalla saturazione, per un materiale ferromagnetico); si ha
mentre la corrispondente potenza
specifica risulta:
poiché è 
, si ottiene
con un valore massimo
o, facendo riferimento al valore efficace dell’induzione,
Per una determinata regione di volume vol, si ottiene la potenza magnetizzante
E’ utile ricordare che con le grandezze alternate sinusoidali le potenze reattive hanno valor medio nullo e che le espressioni scritte in funzione dei valori efficaci di tensioni e correnti esprimono i valore massimo della potenza reattiva; la potenza magnetizzante sopra scritta, che rappresenta un valore massimo, è anche espressa da 
per cui la reattanza è data da 
.
Ad esempio nel caso del toro considerato precedentemente, per il quale si era determinata un’induzione 
, con un valore di cresta, espresso in funzione del valore efficace della corrente, dato da
si ottiene una potenza magnetizzante specifica
ed una potenza magnetizzante
Si ottiene quindi ancora una reattanza ed una induttanza
; 
3 – Reattanza di un avvolgimento cilindrico
3.1 – forza magnetomotroce, campo e induzione
Consideriamo un avvolgimento cilindrico, schematizzato nel disegno seguente, formato da N spire (costituite da ns strati sovrapposti ognuno dei quali formato da na anelli concentrici: 
) percorse da una corrente di valore efficace I:
avvolgimento
In funzione della coordinata x indicata, il valore di cresta delle varie grandezze è dato da:
L’induzione (valore di cresta) varia quindi linearmente con x, come indicato nel disegno, dal valore 0 (n(0) = 0), ad un valor massimo (n(a) = na) 
: si ha cioè
; 
La potenza magnetizzante specifica (var/m3) risulta 
,
mentre la potenza magnetizzante (var) è data da 
3.2 – calcolo della reattanza di dispersione
Per condurre il calcolo suddividiamo il sistema in tre sezioni, e cioè:
1° sezione (foro centrale): 
induzione costante B = Bm ; potenza magnetizzante relativa Qf
2a sezione (avvolgimento): 
induzione variabile linearmente: 
; potenza magnetizzante relativa Qavv
3° sezione (esterna all’avvolgimento)
si ritiene trascurabile l’induzione (B = 0) e quindi nulla la potenza magnetizzante: Qes = 0
Per ogni sezione possiamo calcolare la relativa potenza magnetizzante e quindi determinare la potenza magnetizzante complessiva che, poiché riteniamo trascurabile il contributo della 3a sezione (Qes = 0), è data da 
.
a - calcolo della potenza magnetizzante nella prima sezione:
La potenza magnetizzante è data da 
, dove l’integrale è esteso al volume della prima sezione dato da 
; poiché è B = Bm = cost. possiamo scrivere
b - calcolo della potenza magnetizzante nella seconda sezione (avvolgimento)
La potenza magnetizzante è data da 
, dove l’integrale è esteso al volume della 2a sezione; in questa sezione possiamo porre
; 
per cui si ha
; 
La potenza magnetizzante totale è data da 
; si ha quindi
la reattanza cercata risulta quindi
ed in quest’ultima relazione la funzione della geometria del sistema è data da
3.3 – Reattanza di un avvolgimento cilindrico: calcolo approssimato
Un calcolo approssimato ma più semplice può essere effettuato calcolando l’energia magnetizzante
come prodotto del valor medio 
del quadrato dell’induzione (sempre valore di cresta) nell’avvolgimento per il volume V1 dell’avvolgimento stesso: si tratta cioè di porre
Il valor medio del quadrato dell’induzione è dato da
e quindi si ha
Il volume dell’avvolgimento può essere calcolato facendo riferimento al suo raggio medio
per cui si ha
La potenza magnetizzante relativa all’avvolgimento risulta quindi
Ricordando che il valore massimo (in relazione alla coordinata x) dell’induzione è dato da
si ottiene
Per quanto detto nel par. 3.2/c, si ha che la potenza magnetizzante complessiva è data da 
, dove
è la potenza magnetizzante relativa al canale centrale; possiamo quindi scrivere
e la reattanza di dispersione risulta
Si noti che il calcolo più esatto svolto nel par. 3.2 dava come risultato 
, ed in questa relazione compare il termine 
; nella formula ottenuta col calcolo semplificato si ottiene invece il termine 
. Quindi il calcolo semplificato determina un valore di Qavv un po’ maggiore e conseguentemente si ottiene un valore della reattanza di dispersione maggiore.
4 – Avvolgimento di un trasformatore
a - energia magnetizzante del canale
il volume del canale è 
, e quindi si ha
b – energia magnetizzante negli avvolgimenti
Per calcolare la potenza magnetizzante degli avvolgimenti utilizziamo per semplicità e come prima approssimazione la relazione semplificata dedotta nel par. 3.3 e cioè
Per un calcolo di prima approssimazione possiamo assumere come raggio medio degli avvolgimenti il raggio medio del canale Rb, ponendo cioè 
;il volume degli avvolgimenti è quindi dato da
; 
Si ottiene
; 
c – energia magnetizzante totale
E’ data da 
; si ha quindi:
ponendo:
perimetro medio del canale 
distanza elettromagnetica degli avvolgimenti 
si ottiene
ed esprimendo la Bm in funzione dei dati di uno dei due avvolgimenti (AT o BT), e cioè numero di spire N e valore efficace della corrente nominale I, (N1, I1 per l’avv. BT ed N2, I2 per l’avv. AT), si ha 
, e quindi
La reattanza di dispersione si ottiene come 
per cui è
In sede progettuale il calcolo della reattanza di dispersione viene effettuato con relazioni più complicate che, pur derivando dallo stesso metodo ora descritto, fanno uso di minori approssimazioni e quindi consentono di avere una maggiore precisione o di essere applicate anche ad avvolgimenti complessi, costituiti da più di due bobine concentriche o con più di un solo canale.
4 - Indotto di una macchina sincrona: reattanza di campo principale
La reattanza (di una fase) dell’avvolgimento (trifase) di statore è determinata dalla Fem indotta dal campo prodotto dall’avvolgimento stesso; questo campo è determinato dalla Fmm generata dal sistema di correnti che percorre l’intero avvolgimento trifase della macchina.
Tale forza magnetomotrice può essere sviluppata in una serie di armoniche in cui compaiono solo le armoniche dispari, e ad ogni armonica, di ordine h, corrisponde una reattanza Xh . Si definisce “reattanza di campo principale” la reattanza relativa all’armonica fondamentale della Fmm prodotta dall’avvolgimento.
Dato dunque un avvolgimento trifase, che supponiamo uniformemente distribuito con q intero ed N conduttori per cava, percorso da un sistema equilibrato di correnti di valore efficace I, limitiamoci a considerare solo l’armonica fondamentale Ma della Fmm prodotta dall’avvolgimento stesso; essa ha l’ espressione.
; 
L’andamento della Ma lungo la periferia dell’avvolgimento (coordinata x) è quello indicato nel disegno seguente, dove si è posto x = 0 nella mezzeria della fase che stiamo considerando.
Per un elemento di superficie (normale al traferro) 
possiamo determinare una permeanza
e quindi un flusso elementare
dove si è posto (valore massimo del flusso)
Il flusso complessivo che interessa la parte di avvolgimento relativa alla fase considerata è quindi dato, con il sistema di riferimento indicato nel disegno, da
per cui la relazione precedente diviene
e si ottiene
Il valor medio (nello spazio) del flusso che interessa i conduttori della parte di avvolgimento considerata (una fase ed un polo) è dato da
Poiché le varie grandezze considerate sono tutte sinusoidali (stiamo infatti considerando l’armonica fondamentale del campo), la Fem indotta su un singolo i-esimo conduttore è data da 
, con un valore medio
Il valore efficace della Fem indotta è quindi dato da
dove kf è il fattore di forma che in questo caso, essendo le grandezze sinusoidali, vale 
;
si ottiene
dove il valore massimo del flusso, dedotto precedentemente, vale
Risulta quindi
Indicando con 
il numero dei conduttori in serie per fase e per polo, la relazione precedente diviene
La Fem totale (valore efficace) indotta nei 
conduttori collegati in serie è data da
dove il fattore di distribuzione fd (o il fattore di avvolgimento 
se si è utilizzato un avvolgimento a passo accorciato con fp ¹ 1) tiene conto del fatto che i conduttori situati nelle diverse cave sono tra di loro sfasati in ritardo di un angolo elettrico 
.
Ricordando che avevamo ottenuto 
, si ha
Da questa relazione si ottiene la reattanza cercata, data da
espressione questa che ha la solita struttura
con 
funzione della geometria del sistema.
In questo calcolo abbiamo trascurato l’influenza delle cave in cui l’avvolgimento è inserito; per tenerne conto basta sostituire al traferro d il traferro equivalente dato da
dove kc è il coefficiente di Carter relativo all’avvolgimento considerato, per cui la relazione precedente diviene
Fonte: http://www-3.unipv.it/energy/costruzioni_elettromeccaniche_file/Lezioni%200405/Teoria/Lez5_reattanze%20degli%20avvolgimenti.doc
Sito web da visitare: http://www-3.unipv.it
Autore del testo: non indicato nel documento di origine
Il testo è di proprietà dei rispettivi autori che ringraziamo per l'opportunità che ci danno di far conoscere gratuitamente i loro testi per finalità illustrative e didattiche. Se siete gli autori del testo e siete interessati a richiedere la rimozione del testo o l'inserimento di altre informazioni inviateci un e-mail dopo le opportune verifiche soddisferemo la vostra richiesta nel più breve tempo possibile.
I riassunti , gli appunti i testi contenuti nel nostro sito sono messi a disposizione gratuitamente con finalità illustrative didattiche, scientifiche, a carattere sociale, civile e culturale a tutti i possibili interessati secondo il concetto del fair use e con l' obiettivo del rispetto della direttiva europea 2001/29/CE e dell' art. 70 della legge 633/1941 sul diritto d'autore
Le informazioni di medicina e salute contenute nel sito sono di natura generale ed a scopo puramente divulgativo e per questo motivo non possono sostituire in alcun caso il consiglio di un medico (ovvero un soggetto abilitato legalmente alla professione).
"Ciò che sappiamo è una goccia, ciò che ignoriamo un oceano!" Isaac Newton. Essendo impossibile tenere a mente l'enorme quantità di informazioni, l'importante è sapere dove ritrovare l'informazione quando questa serve. U. Eco
www.riassuntini.com dove ritrovare l'informazione quando questa serve