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Flusso del vettore spostamento elettrico, teorema di Gauss
Si consideri una superficie di area S immersa in un campo elettrico uniforme (cioè costante in tutti i punti e perciò con le linee di forza rettilinee e parallele), per il quale il vettore spostamento elettrico sia D . Si definisce flusso del vettore spostamento elettrico attraverso la superficie S la grandezza scalare :
FS(D) = D·S·cos(a) [C]
Il flusso viene considerato positivo se il campo elettrico è orientato concordemente col versore N (vettore adimensionale unitario ortogonale alla superficie) diversamente esso è considerato negativo.
Il teorema di Gauss afferma che il flusso totale del vettore spostamento attraverso una superficie chiusa qualsiasi FSC(D) è uguale alla somma algebrica delle cariche elettriche QSC racchiuse all'interno della superficie considerata :
Il flusso, per quanto precedentemente detto, sarà uscente dalla superficie chiusa se la carica racchiusa è positiva, altrimenti sarà entrante nella superficie.
Applicazioni del teorema di Gauss
a) Campo elettrico originato da una carica puntiforme.
Consideriamo una carica puntiforme positiva Q ed un punto P distante d dalla carica. Consideriamo la superficie chiusa sferica S avente la carica al suo centro. Si può affermare che il vettore spostamento elettrico D è sempre ortogonale alla superficie e costante per qualunque punto sulla superficie (quindi a = 0 e cos(a) = 1 ). Il flusso del vettore spostamento elettrico attraverso la superficie varrà quindi :
FS(D) = D·S·cos(a) = D·4·p·d2 [C]
Applicando il teorema di Gauss sarà D·4·p·d2 = Q.
Ricordando che in ogni punto del campo elettrico è D = e·E , sostituendo si avrà :
che è quanto cercato.
b) Capacità di un condensatore con armature piane e parallele.
Consideriamo l'armatura carica positivamente Q ed applichiamo il teorema di Gauss alla superficie chiusa SC che racchiude tale armatura. Siccome il campo elettrico è praticamente nullo esternamente allo spazio racchiuso tra le armature, è costante e normale alla superficie internamente alle armature, possiamo limitarci a considerare la sola parte della superficie chiusa SC coincidente con la superficie interna S dell'armatura stessa e scrivere :
FSC(D) = FS(D) = D·S = e·E·S = Q [C]
Ricordando che il campo elettrico uniforme tra le armature distanti d del condensatore è legato alla tensione V applicata tra le armature stesse dalla relazione E = V / d , sostituendo nella espressione precedente e risolvendo rispetto alla Q si ottiene infine :
dove, per omogeneità dimensionale deve essere :
la capacità del condensatore.
Fonte: http://www.itiscopernicofe.it/itis/didattic/matdid/3H/3%5EH-Elettrotecnica.doc
Sito web da visitare: http://www.itiscopernicofe.it/
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