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RICHIAMI DI ARITMETICA
4 x 6 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24
24 – 7 = 17 perché 7 + 17 = 24
a : b = c se è c ∙ b = a
Il primo numero, cioè a, è detto dividendo e il secondo numero, cioè b, è detto divisore.
Se esiste il quoziente fra a e b , si dice che a è divisibile per b e che b è un divisore di a.
Il resto di una divisione è la differenza tra il dividendo e il prodotto tra il divisore e il quoziente.
* In simboli resto = dividendo – (divisore x quoziente);
(divisore x quoziente) + resto = dividendo;
[Se il resto è uguale a zero, la divisione è esatta]
Si dice potenza di un numero un prodotto di più fattori tutti uguali a quel numero.
Il fattore che si deve ripetere dicesi base e il numero che indica quanti sono i fattori dicesi esponente o grado della potenza.
* 4³ = 4 x 4 x 4 = 64 4 è la base ; 3 è l’esponente
Es. 6 : 6³ = 6 ˉ ³ = 6² = 36
Es. (5²)³ = 5²˙³ = 5 = 15.625
**La potenza, con esponente zero, di un numero qualunque, diverso da zero, è uguale a 1 e la potenza con esponente uno di un numero qualunque è uguale al numero stesso (la potenza di base zero ed esponente zero non ha significato).
aº = 1 con a ≠ 0; a¹ = a; 0º non ha senso.
Si dice espressione aritmetica un insieme di numeri naturali legati tra loro da segni di operazioni.
5 + 3 x 7
è errato eseguire la somma 5 + 3 e poi moltiplicare il risultato per 7.
Si deve invece prima eseguire la moltiplicazione 3 x 7 e dopo sommare 5 al risultato:
5 + 3 x 7 = 5 + 21 = 26
L’ordine di precedenza delle operazioni fin qui studiate, è il seguente:
1°) elevamento a potenza
2°) moltiplicazione e divisione
3°) addizione e sottrazione
Le operazioni che hanno lo stesso grado di priorità, come moltiplicazioni e divisioni, si devono eseguire nell’ordine in cui sono indicate.
Le parentesi servono ad alterare l’ordine di priorità delle operazioni, ossia per indicare che le operazioni vanno eseguite in un ordine diverso da quello convenuto. Supponiamo di voler moltiplicare la somma di 5 + 4 per il numero 3. Sarebbe sbagliato scrivere
5 + 4 x 3
perché, come sappiamo, tale scrittura sta ad indicare che si deve eseguire prima la moltiplicazione 4 x 3 e poi sommare il risultato a 5. Per indicare la necessità di eseguire prima l’addizione 5 + 4 e poi la moltiplicazione per 3, si usano le parentesi scrivendo:
(5 + 4) x 3
già si sa che esistono parentesi di tipo diverso: tonde, quadre, graffe. Per togliere le parentesi da un’espressione si dovranno quindi eseguire dapprima le operazioni contenute nelle parentesi; si scriverà al loro posto il numero che rappresenta il risultato delle operazioni. Infine quando l’espressione non conterrà più alcuna parentesi, si procederà rispettando l’ordine delle diverse operazioni.
Un numero si dice primo se ha per divisori solo se stesso e l’unità; un numero non primo può essere scomposto in fattori primi, cioè può essere espresso come prodotto di fattori primi. Esempio:
396 = 2² x 3² x 11
**Il minimo comune multiplo di due o più numeri è il minore tra i multipli dei numeri dati.
[Per determinare il m.c.m. di due o più numeri, questi si scompongono in fattori primi e poi si calcola il prodotto di tutti i fattori primi comuni e non comuni, presi una sola volta col massimo esponente].
Ad esempio:
dati tre numeri 24 ; 72 ; 60 ; abbiamo :
24 = 2³ x 3 ; 72 = 2³ x 3² ; 60 = 2² x 3 x 5 .
m.c.m. = 2³ x 3² x 5 = 360
Nell’insieme dei numeri naturali la divisione fra due numeri non è sempre possibile, per far si che esista, anche se il primo non è multiplo del secondo, introduciamo i numeri razionali.
Nella frazione a / b i numeri a e b sono detti termini della frazione e precisamente a è il numeratore e b il denominatore.
OPERAZIONE CON LE FRAZIONI
1) a / 0 è un’operazione impossibile;
Moltiplicando o dividendo i due termini di una frazione per lo stesso numero, si ottiene una frazione equivalente alla data.
Esempio:
2/3 = (2 x 4) / (3 x 4)
-------------------
* Per sommare due o più frazioni e per sottrarle occorre che esse siano frazioni con lo stesso denominatore (minimo comune denominatore):
ESEMPIO:
2/3 + 3/4 =
m.c.m. (3, 4) = 12
2/3 = 8/12 ; 3/4 = 9/12 è
8/12 + 9/12 = 17/12
*Dalla moltiplicazione tra due o più frazioni, si forma una frazione che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori.
ESEMPIO:
2/3 · 3/4 = 6/12 = 1/2
***Per dividere una frazione per un’altra, si moltiplica la prima per l’inverso della seconda.
ESEMPIO:
2/3 : 3/4 = 2/3 · 4/3 = 8/9
***Per elevare a potenza una frazione si eleva a potenza il numeratore e il denominatore.
ESEMPIO:
( 2/3 )² = 4/9
NUMERI RAZIONALI RELATIVI
Nell’insieme dei numeri naturali non è sempre possibile eseguire una sottrazione. Se si vuole dare un senso alla differenza tra due qualsiasi numeri, ricorriamo all’insieme dei numeri razionali relativi.
Diremo quindi che i numeri ai quali si premette un segno + o il segno - si chiamano numeri relativi.
OPERAZIONI CON I NUMERI RELATIVI
La somma di due numeri relativi concordi (con lo stesso segno) è il numero relativo che ha lo stesso segno dei numeri e per valore assoluto la somma dei valori assoluti. ESEMPIO:
(+3) + (+5) = +8 ; (- 3) + (- 6) = - 9 ;
La somma di due numeri relativi discordi (con segni diversi) è il numero relativo che ha il segno del numero con valore assoluto maggiore e per valore assoluto la differenza dei valori assoluti dei numeri. ESEMPIO:
(+8) + (-12) = -4 ; (-7) + (+3) = -4
Si dice prodotto di due numeri relativi il numero relativo che ha per valore assoluto il prodotto dei valori assoluti e per segno il + o il – secondo che i due numeri siano concordi o discordi.
La moltiplicazione di due numeri relativi si suole indicare con un puntino tra i fattori racchiusi tra parentesi; quando non ci sia pericolo di confusione, questa scrittura si semplifica ulteriormente tralasciando di scrivere anche il puntino. ESEMPIO:
(+3) · (-4) = -12 o anche +3 (-4) = -12
E’ bene insistere sulla regola dei segni del prodotto, secondo la quale quando i fattori hanno lo stesso segno, il prodotto è positivo, quando i fattori hanno segno contrario, il prodotto è negativo. Si suole dire che:
+ per + uguale +
+ per – uguale –
Se il prodotto di due fattori è uguale a zero, almeno uno dei fattori deve essere uguale a zero.
Due numeri si dicono reciproci quando il loro prodotto è uguale a +1.
Fonte: http://www.ipsiapaolocolosimo.it/allegati/article/940/LA%20MATEMATICA%20Facile.doc
Sito web da visitare: http://www.ipsiapaolocolosimo.it
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