Disequazioni di secondo grado

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Disequazioni di secondo grado

 

Le disequazioni di secondo grado

 

Una disequazione di secondo grado si presenta, nella sua forma normale, come segue:

                                     

 

dove a, b e c sono numeri reali () e al posto del segno “>” può esserci “<” oppure “” o “”.

 

Per risolvere una tale disequazione, bisogna, anzitutto, trovare le soluzioni dell’equazione associata, cioè della:

                  

                                     

 

(Si ricorda che per risolvere una tale equazione si utilizzano le seguenti formule:

                                        ).

 

Si possono presentare i seguenti tre casi:

 

  1.          *           si hanno due soluzioni reali e distinte x1 e x2;

 

  1.                     si hanno due soluzioni reali e coincidenti x1=x2;

 

  1.                     non si hanno soluzioni reali, l’equazione è impossibile.

 

Tornando alla disequazione, bisogna tener presente che:

 

1.           *           il trinomio assume il segno del primo coefficiente (cioè

                                di a) all’esterno dell’intervallo delle due soluzioni. Per

                                x=x1 e per x=x2 il trinomio è uguale a zero.

 

2.                      il trinomio assume il segno del primo coefficiente per

                   ogni x diverso dalla soluzione x1 dell’equazione. Per

                   x=x1 il trinomio è nullo.

 

3.                      Il trinomio assume il segno del primo coefficiente per

                                ogni x e non è mai nullo.

 

 

Vediamo alcuni esempi risolti.

 

 

Esempio 1.

Si deve risolvere la seguente:

 

Si risolve prima l’equazione associata:   ; (a=+1; b=+5 ; c=-6)

 

 

            

 

Siamo nel primo caso, quello in cui “il trinomio assume il segno del primo coefficiente (cioè di a) all’esterno dell’intervallo delle due soluzioni. Per x=x1 e per x=x2 il trinomio è uguale a zero”. Il valore del primo coefficiente è “+1”, quindi il trinomio assume segno positivo all’esterno dell’intervallo delle soluzioni. Poiché la disequazione iniziale è , le sue soluzioni sono quelle in cui il trinomio è positivo, cioè la disequazione è verificata per  x<-6  o  x>+1.

 

 

Esempio 2.

Si deve risolvere la seguente:

 

Si risolve prima l’equazione associata:  ; (a=-6; b=+1 ; c=+1)

 

 

           

 

Siamo nel primo caso, quello in cui “il trinomio assume il segno del primo coefficiente (cioè di a) all’esterno dell’intervallo delle due soluzioni. Per x=x1 e per x=x2 il trinomio è uguale a zero”. Il valore del primo coefficiente è “-6”, quindi il trinomio assume segno negativo all’esterno dell’intervallo delle soluzioni.

Poiché la disequazione iniziale è, le sue soluzioni sono quelle in cui il trinomio è negativo o nullo, cioè la disequazione è verificata per         o  .

 

 

Esempio 3.

Si deve risolvere la seguente:

 

Si risolve prima l’equazione associata:  ; (a=+9; b=-30; c=+25)

 

                                     

 

Siamo nel secondo caso, quello in cui  “il trinomio assume il segno del primo coefficiente per ogni x diverso dalla soluzione x1 dell’equazione. Per x=x1 il trinomio è nullo”. Il valore del primo coefficiente è “+9”, quindi il trinomio assume segno positivo per ogni x tranne che per . Poiché la disequazione iniziale è , le sue soluzioni sono quelle in cui il trinomio è negativo o nullo, cioè la disequazione è verificata per  .

 

x2

 

x1

 Esempio 4.

Si deve risolvere la seguente:

 

Si risolve prima l’equazione associata:  ; (a=-81; b=+18; c=-1)

 

                                     

 

Siamo nel secondo caso, quello in cui  “il trinomio assume il segno del primo coefficiente per ogni x diverso dalla soluzione x1 dell’equazione. Per x=x1 il trinomio è nullo”. Il valore del primo coefficiente è “-81”, quindi il trinomio assume segno negativo per ogni x tranne che per  dove è nullo. Poiché la disequazione iniziale è, le sue soluzioni sono quelle in cui il trinomio è negativo o nullo, cioè la disequazione è verificata per ogni x. 

 

 

Esempio 5.

Si deve risolvere la seguente:

 

Si risolve prima l’equazione associata:  ; (a=+4; b=+4; c=+1)

 

                                 

 

Siamo nel secondo caso, quello in cui  “il trinomio assume il segno del primo coefficiente per ogni x diverso dalla soluzione x1 dell’equazione. Per x=x1 il trinomio è nullo”. Il valore del primo coefficiente è “+4”, quindi il trinomio assume segno positivo per ogni x tranne che per  dove è nullo. Poiché la disequazione iniziale è , le sue soluzioni sono quelle in cui il trinomio è negativo. Poiché il trinomio non è mai negativo, si conclude che la disequazione non è mai verificata, è impossibile.    

 

 

Esempio 6.

Si deve risolvere la seguente:

 

Si risolve prima l’equazione associata:  ; (a=-9; b=+6; c=-1)

 

                                

 

Siamo nel secondo caso, quello in cui  “il trinomio assume il segno del primo coefficiente per ogni x diverso dalla soluzione x1 dell’equazione. Per x=x1 il trinomio è nullo”. Il valore del primo coefficiente è “-9”, quindi il trinomio assume segno negativo per ogni x tranne che per  dove è nullo. Poiché la disequazione iniziale è , le sue soluzioni sono quelle in cui il trinomio è positivo o nullo. Poiché il trinomio non è mai positivo, si conclude che la disequazione è verificata solo per .

 

 

Esempio 7.

Si deve risolvere la seguente:

 

Si risolve prima l’equazione associata:  ; (a=+1; b=-2; c=+10)

 

                  (l’equazione non ha soluzioni)                

 

Siamo nel terzo caso, quello in cui  e “Il trinomio assume il segno del primo coefficiente per ogni x e non è mai nullo”. Il valore del primo coefficiente è “+1”, quindi il trinomio assume segno positivo per ogni x.

 

Poiché la disequazione iniziale è , le sue soluzioni sono quelle in cui il trinomio è positivo. Poiché il trinomio è sempre positivo, si conclude che la disequazione è verificata sempre, cioè per ogni x.

 

 

Esempio 8.

Si deve risolvere la seguente:

 

Si risolve prima l’equazione associata:  ; (a=-1; b=+4; c=-5)

 

                   (l’equazione non ha soluzioni)                

 

Siamo nel terzo caso, quello in cui  e “Il trinomio assume il segno del primo coefficiente per ogni x e non è mai nullo”. Il valore del primo coefficiente è “-1”, quindi il trinomio assume segno negativo per ogni x.

Poiché la disequazione iniziale è , le sue soluzioni sono quelle in cui il trinomio è positivo o nullo. Poiché il trinomio è sempre negativo, si conclude che la disequazione non è mai verificata, cioè è impossibile.

 

 

 

Fonte: http://www.webalice.it/rcicero/appunti%20maths/Disequazioni%20SecondoG.doc

Sito web da visitare: http://www.webalice.it/rcicero/

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