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CALCOLO INTEGRALE
Ogni funzione F(x) la cui derivata è f (x) si dice funzione primitiva della f (x) o integrale indefinito di f (x) e si scrive 
.
È necessario aggiungere la costante arbitraria c, detta costante di integrazione, perché l’integrale indefinito di una data funzione non è unico.
Per esempio x2, x2+5 , x2-4 ….. ecc. sono integrali indefiniti di f(x) = 2x perché
Tutti gli integrali indefiniti di f(x) =2x sono quindi inclusi in x2+c , per cui potremo scrivere 
In pratica l’integrale si può definire come operazione inversa della derivata.
In base alla definizione si avrà:
perché 
(logx+c) = 
ecc.
TEOREMA
Ogni funzione continua su un certo intervallo ammette primitive.
Le funzioni che ammettono primitive si dicono integrabili, pertanto le funzioni continue sono integrabili.
PROPRIETA’ DELL’INTEGRALE INDEFINITO
Esempio:
Esempio:
di alcune funzioni di uso frequente
1.
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Se è possibile esprimere la funzione integrando f(x) come somma di un numero finito di funzioni f1(x), f2(x), ……… fn(x) che sono singolarmente integrabili, allora
ESEMPI
Questa regola ha lo scopo di ricondurre il calcolo dell’integrale di una funzione a quello di un’altra funzione, dedotta dalla prima mediante un opportuno cambiamento di variabile.
Esempio: Calcolare l’integrale 
dx
Ponendo 
= t , si avrà
1-x = t2 ,
x = 1-t2 ,
dx = - 2t dt per cui
dx =
=
=
=
= -
=
= - 
Vale la formula
dove f(x) è detto fattore finito e g '(x) fattore differenziale.
ESEMPI:
Posto f(x) = lgx e g '(x) = 1 , si avrà :
= 
= x lgx – x + c
Posto f(x) = x e g '(x)dx = cosxdx , da cui
f '(x) = 1 e g(x) = senx , si avrà :
= xsenx - 
= xsenx + cosx +c
Se f(x) è una funzione continua nell’intervallo [a,b], il simbolo 
viene detto l’integrale definito di f(x) rispetto ad x da x=a ad x=b.
La funzione f(x) viene chiamata funzione integranda, mentre a e b sono chiamati, rispettivamente, limite inferiore e limite superiore di integrazione.
PROPRIETA’ DEGLI INTEGRALI DEFINITI
Se f(x) è continua sull’intervallo [a,b], allora:
= 0
= - 
+ 
= 
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Se f(x) è continua sull’intervallo [a,b], e se
, allora 
= 
= F(b) – F(a)
Negli intervalli in cui f(x) è positiva l’integrale definito 
(con
) è positivo e viceversa.
Ogni integrale definito rappresenta l’area della regione piana limitata dalla curva e dalle rette x = a e x = b.
Se le curve sono due, cioè f(x) e g(x), l’integrale 
rappresenta l’area della regione piana racchiusa fra i due archi di curva e le rette x = a e x = b.
ESEMPIO
Determinare l’area della regione piana limitata dalle due parabole di equazioni y = 2x2-4x+4 e
y = x2-2x+4.
Le parabole si intersecano nei punti A(0;4) e B(2;4), per cui
Se f(x) non è continua in uno degli estremi, per esempio in a (oppure in b), ma lo è in ogni altro punto di (a,b),
detto c un punto interno dell’intervallo, si avrà:
se il limite di questo integrale esiste finito.
oppure
se il limite di questo integrale esiste finito.
Questi limiti si chiamano integrali definiti generalizzati.
ESEMPI :
◊ Calcolare l’integrale 
La funzione integranda non è continua nell’estremo superiore x=3
Si avrà:
=
= - 3 
+ 3 
da cui 
= 
( - 3 
+ 3 
) = 3 
◊ Calcolare l’integrale 
La funzione integranda non è continua nell’estremo inferiore x=0.
Si avrà:
= 
= 
, per cui
= 
= +
Poiché il limite esiste, ma non è finito, si può concludere che l’integrale richiesto non esiste.
Secondo caso
Se f(x) non è continua in un punto c interno all’intervallo (a,b) ,
si deve considerare la somma di integrali
+ 
con a
k < c e c < h
b
Se esiste finito il limite di questa somma per 
e 
, allora questo limite ci dà il valore dell’integrale richiesto.
ESEMPIO:
◊ Calcolare l’integrale 
La funzione integranda non è continua in x=0 , punto interno all’intervallo di integrazione.
Si avrà:
+ 
= 
+ 
= 
+ 
Poiché per 
e 
il limite di questa somma esiste finito ed è uguale a 
, si deduce che
= 
Terzo caso
Quando un estremo di integrazione, o entrambi, sono infiniti, si avrà :
, se questo limite esiste ed è finito.
, se questo limite esiste ed è finito.
e 
di 
, se questo limite esiste ed è finito.
ESEMPIO
◊ 
= 
= 
= 
per cui la funzione non è integrabile.
◊ 
= 
= 
= 
Fonte: http://www.itispolistena.gov.it/wp/wp-content/uploads/2014/06/Calcolo-integrale1.doc
Sito web da visitare: http://www.itispolistena.gov.it
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