Numeri razionali

 

 

 

I riassunti , gli appunti i testi contenuti nel nostro sito sono messi a disposizione gratuitamente con finalità illustrative didattiche, scientifiche, a carattere sociale, civile e culturale a tutti i possibili interessati secondo il concetto del fair use e con l' obiettivo del rispetto della direttiva europea 2001/29/CE e dell' art. 70 della legge 633/1941 sul diritto d'autore

 

 

Le informazioni di medicina e salute contenute nel sito sono di natura generale ed a scopo puramente divulgativo e per questo motivo non possono sostituire in alcun caso il consiglio di un medico (ovvero un soggetto abilitato legalmente alla professione).

 

 

 

 

Numeri razionali

 

NUMERI E ALGORITMI
Mod. 5           Numeri razionali, irrazionali, numeri reali.

INTRODUZIONE

Propongo un approccio ai reali tramite gli allineamenti decimali. Questo è l’approccio che sto utilizzando in classe negli ultimi anni, dopo molti tentativi (e molte delusioni) di costruire i reali tramite il metodo di Dedekind delle sezioni (o sue varianti). Mi sembra che questo sia il metodo più naturale: è il metodo che, storicamente, ha portato ai grandi risultati dell’analisi, che meglio utilizza i modelli mentali già in possesso degli alunni, sufficientemente operativo, che consente di affrontare i concetti fondamentali con concretezza (in un senso ben preciso). È, infine, il metodo utilizzato da Cantor nella sua dimostrazione sulla non numerabilità dei reali.
Una volta acquisita questa conoscenza (direi quasi confidenza) con i reali, è possibile comprendere le costruzioni dei reali tramite sezioni o classi contigue. 

Infine, alcuni spunti sulla misura, visto che la misura è il ponte tra mondo reale e mondo matematico, ed è uno dei problemi da cui hanno avuto origine molte idee matematiche.

Per una presentazione teorica dei reali, si veda ad esempio:
http://www.math.unipd.it/~azanardo/ssis/numeri.pdf
Per una comparazione didattica tra le varie costruzioni dei reali, si veda Villani, Cominciamo da zero, già citato nella bibliografia.

Ecco una sintesi ed un completamento per punti di quanto visto nella lezione. Di seguito un elenco di argomenti per possibili attività su R.

 

Numeri razionali,  irrazionali, numeri reali.

• Come già ricordato, 2 sono i modelli efficaci su cui si basano le costruzioni dei sistemi numerici:

1- i numeri naturali (struttura adeguata per contare e ordinare insiemi finiti) e
2- la retta geometrica, che da sempre ha fornito supporto visivo (e non solo, spesso ha fornito anche supporto alla deduzione) per i razionali e i reali.

• I due modelli sono attivi per tutti i sistemi numerici  e sono di supporto il primo alla struttura algebrica, il secondo alla struttura d'ordine.

Dal modello dei naturali, con ampliamenti successivi, si costruiscono gli insiemi Q+, Z, Q, e si passa a rappresentarli sulla retta geometrica, ampliando e infittendo i punti che sono associati ai numeri. In questa rappresentazione giocano un ruolo particolare la simmetria e il teorema di Talete (sotto forma di omotetia).
Con la simmetria (o, se si preferisce, con il compasso), una volta fissati sulla retta i punti corrispondenti a 0 e a 1, si individuano i punti corrispondenti ai naturali, e poi agli interi.
Con il teorema di Talete (o, se si preferisce, con riga e compasso) si individuano i punti associati ai numeri razionali.

• La domanda che ci si pone è: ogni punto della retta corrisponde ad un razionale? La risposta, nota da 2500 anni, è no.
  La scuola pitagorica ha infatti dimostrato, usando l’aritmetica, che la diagonale AC di un quadrato di lato AB=1 è un segmento incommensurabile con il lato, ossia che il rapporto AC/AB non è il rapporto tra due interi. Con linguaggio attuale, diremo che  non è un numero razionale.

• La conseguenza immediata di questo fatto è che l’insieme dei razionali non è adeguato a descrivere tutti i punti di una retta geometrica. L’assunzione implicita è che ad ogni punto della retta corrisponda un numero (questo deriva anche dall’esperienza della misura), e che quindi esistano numeri al di fuori dell’insieme dei razionali. Questi “nuovi” numeri sono chiamati irrazionali. L’insieme dei numeri razionali e irrazionali forma l’insieme dei numeri reali ed è indicato con R.
  In conclusione, l’insieme R è costruito in modo tale che i suoi elementi siano in corrispondenza biunivoca (e ordinata) con i punti della retta geometrica.

 

• Poiché l’insieme dei razionali è denso (ossia tra due razionali esiste sempre un altro – e quindi infiniti altri- numero razionale), ciò significa che la retta geometrica, e quindi R, ha una proprietà ancora più forte della densità. Questa proprietà prende il nome di continuità, ed è stata postulata esplicitamente da Archimede , quale assioma da aggiungere agli assiomi euclidei. Ma di questo tratterete in altra sede.
  
• I numeri razionali si possono rappresentare mediante frazioni o mediante rappresentazioni decimali. Per i numeri irrazionali, quale rappresentazione usare? Per alcuni di questi, si può usare una rappresentazione che li caratterizza in funzione della loro genesi: ad esempio, la scrittura del numero x =  ricorda che x è la soluzione dell’equazione x2=2 e pertanto che ; analogamente per le altre radici quadrate, cubiche,…. Ma in altri casi, quali ad esempio π e e, si tratta solo di simboli convenzionali, anche se associati a numeri importanti .
  L’unica rappresentazione effettiva risulta in questi casi la rappresentazione decimale.

• Le rappresentazioni decimali dei numeri irrazionali risultano tutte illimitate non periodiche. Infatti, le rappresentazioni finite o periodiche descrivono numeri razionali. Pertanto, ogni allineamento decimale, finito o no, periodico o no, rappresenta un ben preciso numero reale. Alla stessa conclusione si giunge qualunque sia la base del sistema di numerazione scelta.

Nota storica: I numeri reali, intesi come allineamenti decimali, sono stati usati senza particolari problemi per due secoli, dalla creazione dell’analisi matematica fino alla metà del 1800. Solo dopo gli studi sui fondamenti dell’analisi sono comparse le definizioni di Dedekind e Cantor dei reali come sezioni in Q o classi di equivalenza di successioni di Cauchy, con l’obbiettivo di fondare tutta la matematica sui naturali (aritmetizzazione dell’analisi), in modo da ridurre gli assiomi di cui si necessita. Questo però è un problema di logica fondazionale che mal si presta ad una trasposizione didattica efficace, in quanto è un punto di arrivo (di alcuni secoli di riflessione), non un punto di partenza. Notiamo infine che dal punto di vista teorico gli allineamenti decimali sono particolari successioni di Cauchy.

• Il punto precedente non deve però far dimenticare le difficoltà intrinseche dei numeri reali. Le difficoltà consistono tutte nella necessità di lavorare con infiniti “in atto”: infinite cifre decimali, oppure infiniti termini di una successione, oppure infiniti (anzi, più che numerabili) elementi di una sezione. Questi infiniti portano alla nostra attenzione di insegnanti il nodo concettuale di approssimazione.

L’approssimazione è lo strumento che la matematica si è data per trattare con gli infiniti senza restarne invischiata (si potrebbe dire che l’approssimazione consiste nel trasformare gli infiniti in atto in infiniti in potenza). È comunque uno strumento complesso, che gli alunni imparano a controllare con molte difficoltà. È anche uno strumento che presenta molti aspetti.

• La prima applicazione di questo strumento si ha nel problema: 0,999…=1 ?

Sembrerà strano, ma a questa domanda molti studenti (anche universitari) rispondono “sono infinitamente vicini, ma non uguali” .
Questo è un caso particolare del problema: quando due numeri reali coincidono? La risposta può essere data con una variante del principio di Eudosso-Archimede: diciamo che due numeri sono uguali quando la loro differenza (in valore assoluto) è minore di ogni numero positivo.
Qui risulta esplicita la somiglianza con la relazione di equivalenza tra successioni di Cauchy.
Nel nostro caso, otteniamo:
la differenza è minore di 0,1, perché 1- 0,99=0,01 e 0,999… >0,99
la differenza è minore di 0,01, perché 1- 0,999=0,001 e 0,999… >0,999
la differenza è minore di 0,001, perché 1- 0,9999=0,0001 e 0,999… >0,9999
…
e quindi in conclusione: 1=0,999…
Anche la rappresentazione dei due numeri sulla retta numerica porta alla stessa conclusione.
Vale la pena di notare qui che questa conclusione è possibile solo se si ammette l’archimedeità dei reali.

• L’applicazione successiva dell’approssimazione si ha quando si ragiona sulle operazioni tra reali.

Consideriamo ad esempio il procedimento della somma di π = 3,1415…e √2=1,4142…
Data la presenza di infinite cifre, non possiamo eseguire l’usuale operazione in colonna, partendo dalla cifra più a destra. In questi casi, si considerano le successioni di approssimazioni decimali finite per difetto e per eccesso dei due numeri, e se ne calcola la differenza termine a termine: poiché tale differenza tende a 0, in base alla variante del nostro principio di Eudosso possiamo concludere affermando che ognuna delle due successioni individua il risultato dell’addizione.
Nel nostro esempio:

Somma per difetto	Somma vera	Somma per eccesso	Differenza
3 + 1 = 4	< π +√2 <	4 + 2	2
3,1 + 1,4 = 4,5	< π +√2 <	3,2 + 1,5	0,2
3,14 + 1,41 = 4,55	< π +√2 <	3,15 + 1,42	0,02
3,141 + 1,414 = 4,555	< π +√2 <	3,142 + 1,415	0,002
3,1415 + 1,4142 = 4,5557	< π +√2 <	3,1416 + 1,4143	0,0002

Dopo questi passaggi, possiamo affermare con sicurezza che la somma π + √2 ha le prime 4 cifre uguali a 4,555, essendo questo un valore per difetto. Il procedimento può essere portato avanti per un numero di cifre arbitrario, da cui la conclusione.
Un po’ più complesso risulta il caso del prodotto, ma si giunge ad una conclusione analoga.

NOTA: quindi, nel caso delle operazioni, non si deve pretendere che la scrittura come allineamenti decimali dia immediatamente il risultato come allineamento decimale (questo può capitare, in alcuni casi). Però questa scrittura consente certamente di ottenere le cifre decimali del risultato in modo ottimale: qualsiasi altra rappresentazione risulta meno efficiente.

 

Possibile percorso su R.

Nell’elenco, in corsivo appaiono gli argomenti di approfondimento opzionale.

• I numeri reali
• Rappresentazione in base 10 dei numeri razionali
• decimali finiti
• decimali periodici

 

• Rappresentazione in base diversa da 10 dei numeri razionali
• In particolare in base 2

• Esistenza di numeri irrazionali
• Dimostrazione dell’irrazionalità di  (aritmetica).
• Rappresentazione geometrica di
• Generalizzazione: irrazionalità di , se n non è un quadrato (n è in N).
• Generalizzazione: irrazionalità di , se n non è un cubo (n è in N)…
• Rappresentazioni decimali non periodiche per gli irrazionali.

 

• I numeri reali: razionali e irrazionali
• Riflessione sull’uguaglianza tra reali: quando 2 reali sono uguali? L’assioma di Archimede
• Riflessione sull’ordinamento e sulla densità.
• Tra due razionali esiste sempre un irrazionale.
• Tra due irrazionali esiste sempre un razionale.
• Le approssimazioni razionali dei reali
• Operazioni sui reali
• Assioma di completezza

• La cardinalità di R.
• Dimostrazione di Cantor della non numerabilità di R.
• R ha cardinalità 2À0

 

• Il problema della misura
• La scrittura di una misura
• le cifre significative
• l’intervallo di incertezza assoluta
• l’incertezza relativa
• l’additività della misura
• La misura
• di lunghezze
• di superficie
• di volume
• Misure dirette ed indirette
• Misure esatte ed approssimate
• determinazione approssimata di π con metodo sperimentale
• determinazione approssimata di πcon il metodo di Archimede.

ATTIVITA' PER CAPIRE E PER INSEGNARE

 

• Si dia un metodo grafico per costruire, sulla retta numerica, le radici quadrate di 2, 3, 4, 5, 6… (C’è un metodo iterativo basato sui triangoli rettangoli molto carino). Usare Geogebra o Cabri.

• Si dimostri l’irrazionalità di , se n non è un quadrato perfetto (n è in N). Si dimostri poi che log2(3) è irrazionale. Come generalizzare quest’ultimo risultato?

 

• Si dimostri che
• tra due razionali esiste sempre un irrazionale
• tra due irrazionali esiste sempre un razionale.

Verrà “premiata” la soluzione più facile ed elegante.

 

Fonte: http://www.di.univr.it/documenti/OccorrenzaIns/matdid/matdid908684.doc

Sito web da visitare: http://www.di.univr.it

Autore del testo: Prof. Sergio Zoccante

Il testo è di proprietà dei rispettivi autori che ringraziamo per l'opportunità che ci danno di far conoscere gratuitamente i loro testi per finalità illustrative e didattiche. Se siete gli autori del testo e siete interessati a richiedere la rimozione del testo o l'inserimento di altre informazioni inviateci un e-mail dopo le opportune verifiche soddisferemo la vostra richiesta nel più breve tempo possibile.

 

Numeri razionali

 

 

I riassunti , gli appunti i testi contenuti nel nostro sito sono messi a disposizione gratuitamente con finalità illustrative didattiche, scientifiche, a carattere sociale, civile e culturale a tutti i possibili interessati secondo il concetto del fair use e con l' obiettivo del rispetto della direttiva europea 2001/29/CE e dell' art. 70 della legge 633/1941 sul diritto d'autore

Le informazioni di medicina e salute contenute nel sito sono di natura generale ed a scopo puramente divulgativo e per questo motivo non possono sostituire in alcun caso il consiglio di un medico (ovvero un soggetto abilitato legalmente alla professione).

 

Numeri razionali

 

"Ciò che sappiamo è una goccia, ciò che ignoriamo un oceano!" Isaac Newton. Essendo impossibile tenere a mente l'enorme quantità di informazioni, l'importante è sapere dove ritrovare l'informazione quando questa serve. U. Eco

www.riassuntini.com dove ritrovare l'informazione quando questa serve