Polinomi

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Polinomi

Ripasso sull'algebra dei polinomi

definizione1. Si chiama monomio una quantità che si ottiene da numeri e lettere su cui si eseguono operazioni di prodotto, elevamento a potenza, quoziente.
esempio: 3x3y2ab-2, 2.7.39x9a2y3,….
Il prodotto dei numeri presenti nel monomio si chiama coefficiente, il prodotto delle lettere si chiama parte letterale.
definizione2.Si chiama polinomio una somma di monomi interi (ossia in cui non compaiono potenze negative delle lettere)
esempio: 3x3y2ab2+xyzt3a4
definizione3.Si dice grado di un monomio intero la somma delle potenze delle lettere che vi compaiono e grado di un polinomio il più grande dei gradi dei monomi che lo compongono.
esempio: nel polinomio 3x3y2ab2+xyzt3a4, il primo monomio è di grado 8 (=3+2+1+2), il secondo è di grado 10 (=1+1+1+3+4) e il polinomio è di grado 10
definizione4. La somma di due monomi simili (ossia che hanno esattamente la stessa parte letterale) è un monomio che ha la stessa parte letterale degli addendi e ha per coefficiente la somma dei coefficienti
esempio: 3x3y2ab2-6.2x3y2ab2=-9x3y2ab2
La somma di due polinomi è il polinomio costituito dalla somma di tutti i monomi contenuti nei polinomi addendi:
esempio: (3x3y2ab2+xyzt3a4)+(xyza3-6 x3y2ab2)= 3x3y2ab2+xyzt3a4+xyza3-6 x3y2ab2=
=-3x3y2ab2+xyzt3a4+xyza3
Il prodotto di due monomi è un monomio il cui coefficiente è il prodotto dei coefficienti dei monomi fattori e la cui parte letterale è il prodotto delle parti letterali dei monomi fattori (eseguito nel rispetto delle proprietà delle potenze).
esempi: (3x2y-1a3)(2xy3tz)=6x3y2a3tz
(3x2y-1a3)(x-2ya-3/2)=3/2
Il prodotto di un polinomio per un monomio si ottiene sommando i prodotti del monomio per tutti i monomi che compongono il polinomio.
esempio: (2ab2x3)(axy-2xy2+yx-1)=2a2b2x4y-4 ab2x4y2+2 ab2x2y
Il prodotto di due polinomi si esegue moltiplicando ogni monomio del primo polinomio per il secondo polinomio e sommando i risultati, o, indifferentemente, moltiplicando il primo polinomio per tutti i monomi del secondo e sommando i risultati
esempio: (a2+x)(a+x2)=a3+a2x2+ax+x3 = (monomi del primo per il secondo)
= a3+ ax+ a2x2+ x3 (monomi del secondo per il primo)
La divisione di un polinomio per un monomio si effettua dividendo per il monomio tutti i monomi che compongono il polinomio e sommando i risultati.
ATTENZIONE! Non è detto che il risultato della divisione sia un polinomio!
esempi: (3xy2+4x3y):(xy)=3y+4x2
(3xy2+4x3y):(x2y)=3x -1y+4x
La divisione di un polinomio per un altro polinomio si basa sullo stesso principio della divisione fra numeri interi, pur di sostituire alle colonne delle unità, decine, centinaia…quelle delle diverse potenze che compaiono nel polinomio.

Al primo passo abbiamo diviso il monomio di grado massimo del dividendo per il monomio di grado più alto del divisore, ottenendo x3. Abbiamo poi moltiplicato questo risultato per il divisore e abbiamo sottratto il risultato dal dividendo, ottenendo -2x4-2x3+2x2 -1 (si noti lo spazio lasciato prima del termine noto: è lo spazio relativo alla prima potenza di x, che compare negli ultimi passaggi). Il risultato della sottrazione è stato nuovamente diviso per la massima potenza presente nel divisore, ottenendo -2x2, che si è poi moltiplicato per l'intero divisore, sottraendo il risultato da quanto era rimasto del dividendo, e così via fino a quando il resto della sottrazione è di grado inferiore al divisore.
Nel caso il divisore sia un polinomio di primo grado, del tipo x-a, la divisione può essere effettuata sia con la regola sopra descritta, sia con la regola di Ruffini. A titolo di esempio, eseguiamo con i due metodi la divisione (x5-3x4 +2x2 -1):(x-2).

Lo schema per la regola di Ruffini contiene esclusivamente i coefficienti delle potenze, che devono essere tutte presenti (anche quelle con coefficiente nullo!), disposte in ordine decrescente. Il termine noto è separato dagli altri grazie alla seconda linea verticale. Il divisore x-2 viene identificato dal 2 posto a sinistra della prima linea verticale. Si abbassa al di sotto della linea orizzontale il primo coefficiente della prima riga (dividendo per x, il primo coefficiente del risultato è lo stesso del dividendo). Si moltiplica tale valore per 2 e si somma tale prodotto, posto nella seconda riga e nella seconda colonna, con il -3 contenuto in prima riga nella stessa colonna. Il risultato della somma si moltiplica ancora per 2, lo si pone nella seconda riga e nella colonna successiva, poi si somma,….
La terza riga contiene i coefficienti del polinomio quoziente e, dopo la seconda linea verticale, il resto (polinomio di grado 0). Il quoziente si scrive con i coefficienti ottenuti, tenendo conto del fatto che il grado del quoziente sarà pari a quello del dividendo diminuito di 1.
Ovviamente si è ottenuto lo stesso risultato con i due metodi, ma è anche importante notare che, se pure organizzate in modo diverso, si sono anche compiute esattamente le stesse operazioni.

Divisibilità di un polinomio per x-a
Si può facilmente dimostrare che quando un polinomio si annulla in corrispondenza di un punto a, esso è divisibile per x-a e, viceversa, se il polinomio è divisibile per x-a, allora si annulla per x=a.
Questo fornisce un criterio molto semplice per scoprire se un polinomio sia divisibile per un binomio della forma x-a.
Un ulteriore aiuto nella ricerca di divisori di un polinomio, viene dalla seguente proprietà:
Sia dato il polinomio . Se esistono divisori della forma x-a, con a numero razionale, allora è: .
Consideriamo ad esempio il polinomio .
I divisori del termine noto an sono ±1, ±2, ±3, ±6; i divisori del primo coefficiente a0 sono ±1, ossia i possibili valori di a sono i divisori di an. Si ha:
P(1)=-12; P(-1)=-8; P(2)=-20; P(-2)=0; P(3)=0; P(-3)=60.
Arrestiamo qui la ricerca perché, avendo trovato due divisori, possiamo scrivere il polinomio come prodotto di due fattori di primo grado per uno di secondo grado e questo ultimo, se scomponibile, porta facilmente all'individuazione delle radici.
Eseguiamo ora la divisione, prima per x+2, poi per x-3:
            1   -1   -5   -1     -6                        1   -3   1     -3
    -2         -2     6   -2      6                 3            3   0      3
            1   -3    1   -3      0                        1     0   1      0

Alla luce delle due divisioni successive abbiamo ottenuto la scomposizione

Il polinomio non può essere ulteriormente scomposto in quanto l'ultimo fattore, di secondo grado, non ha radici reali.

Fonte: http://www.itcattaneo.gov.it/docs/dispense/polinomi_2.doc

Sito web da visitare: http://www.itcattaneo.gov.it

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