Problema dei problemi

Il problema del testo-
il testo del problema.
Note di un laboratorio svolto nel VI circolo didattico di Trento
coordinatore: Giorgio Bolondi
Il Buonsenso, che già fu capo-scuola
ora in parecchie scuole è morto affatto;
la Scienza sua figliuola
l’uccise, per veder com’era fatto.
(Giuseppe Giusti, 1849)
1- Premessa. 2- Osservazioni preliminari. 3- I programmi ministeriali. 4- Il problema tradizionale ed il testo. 5- Il lavoro su testi/contesti ricchi. 6- Testi strutturati. 7- Dalla lettura del testo al lavoro sul testo.  8- Nota finale.
1. Premessa.
Questo quaderno nasce da un laboratorio realizzato con insegnanti della scuola elementare durante l'anno scolastico 98/99 nel VI circolo didattico di Trento. Gli insegnanti avevano in precedenza svolto un lavoro (interdisciplinare) sulla funzione e l’importanza del testo nell’insegnamento primario; l'obiettivo specifico del laboratorio disciplinare di matematica era quello di  esaminare le questioni relative al testo nei problemi di matematica nella scuola elementare.
In questo quaderno vengono esposte le linee guida del laboratorio con alcuni esempi campione, nella convinzione che questo tipo di esperienze, una volta documentate, possano essere utili anche in altre scuole e per altri insegnanti. Questo fascicolo e tutta la documentazione relativa alle attività didattiche, che ne è il naturale completamento e che speriamo possa trovare spazio in un successivo fascicolo, devono la propria esistenza all’impegno e all’entusiasmo degli insegnanti partecipanti al laboratorio, che li hanno realizzati anche attraverso la loro attività di programmazione e progettazione didattica ed il loro lavoro nelle classi. I partecipanti al laboratorio, coordinato da Giorgio Bolondi del Politecnico di Milano, erano Antonia Acquaviva, Erminia Dugo, Giulia Flaim, Teresa Frassoni, Graziana Fronti, Valentina Furlan, Maria Elena Leante, Anna Maria Mazzarano, Maria Nicolussi Moro, Tiziana Passannanti, Rosa Anna Pedron, Annalisa Pischedda, Daniela Tasin e Paola Volcan.
2. Osservazioni preliminari.
Il “problema dei problemi”: questa è una espressione ormai divenuta comune tra gli esperti di didattica della matematica e tra gli insegnanti. Questo “problema” non è una specificità della situazione scolastica italiana: in forme diverse si presenta in tutto il mondo. Gli studenti hanno “paura” dei problemi di matematica, e questo per molti motivi: perché non sempre c’è una ricetta pronta da applicare per trovare la soluzione, perché “non sanno da che parte iniziare”, perché non capiscono la domanda … Dal canto loro gli insegnanti trovano difficoltà nel realizzare una efficace “didattica per problemi”. In generale, lavorare sui problemi e coi problemi richiede un grosso investimento di tempo e di energie, sia nella programmazione e progettazione delle attività che nella realizzazione in classe; talvolta il risultato ottenuto non sembra ripagare  questo investimento.
Vale quindi la pena di esaminare preliminarmente quali risultati si vogliono ottenere dal lavoro sui problemi fatto durante le ore di matematica. E conviene subito sgombrare il campo da un equivoco in cui talvolta incorrono anche i testi e le guide: la parola “problema” ha, in matematica, un significato “tecnico” molto diverso da quello che ha nella vita reale (“Ho un problema con la mia sorellina…”); questo non deve stupire, perché succede per molte parole (una operazione aritmetica è cosa molto diversa da una operazione chirurgica…).
Dunque, cosa intendiamo con la parola “problema”, nell’educazione matematica? Una definizione che può essere largamente condivisa è “situazione in cui si presenta una domanda a cui bisogna costruire una risposta utilizzando strumenti di aritmetica, geometria, logica….”. Si dà quindi alla parola un significato molto ampio, che mette i problemi al centro dell’attività matematica.
Se però andiamo a vedere i problemi dei sussidiari tradizionali ci appare subito evidente che nella prassi didattica questo significato naturale si è molto raggrinzito, e la parola viene spesso usata per indicare nient'altro che un esercizio di calcolo, blandamente  ricoperto da un contesto. Le operazioni aritmetiche necessarie per la soluzione sono molto più "importanti" che la situazione (il più delle volte completamente fittizia) che fa scaturire la domanda, o il processo che porta il bambino a scoprire la soluzione. Sembra quasi che la principale funzione dei problemi sia quella di fornire pretesti per fare esercizi di calcolo. E’ significativo che i bambini spesso non si accorgano delle palesi assurdità contenute nelle loro risposte: un caso classico e molto studiato è “il problema del camion”.
Un camion dell’esercito può trasportare 36 soldati. Quanti camion occorrono per trasportare 1128 soldati dalla caserma al campo d’addestramento?
Su un campione di 45.000 studenti, il 29% ha risposto “31 col resto di 12” e il 18% ha risposto “31”.
In questo caso per i bambini (quasi la metà!) che sbagliano (sbagliano il problema, non l’operazione, si badi bene) non ha importanza che si tratti di camion e soldati: risolvono il problema come se si trattasse di torte da suddividere. Il testo/contesto diventa qualcosa di superfluo, e viene completamente dimenticato non appena sono stati isolati i numeri e individuata l’operazione da eseguire con questi numeri.
In realtà, al di là della pratica con i calcoli, gli insegnanti vorrebbero raggiungere anche obbiettivi più generali e di portata più ampia: abituare i bambini ad analizzare le situazioni, selezionare i dati ed individuarne la funzione all’interno di un contesto, elaborare e correggere strategie di risoluzione, confrontare i risultati ottenuti con le richieste, e così via. Tutto questo, naturalmente, per poter poi trasferire queste capacità anche nella vita normale.
E’ evidente che questi obbiettivi generali non possono essere conseguiti solo con un lavoro meccanico, quasi “automatizzato”, di risoluzione di esercizi tutti uguali in cui cambia soltanto la “marca” che si attacca ai numeri. Questi obbiettivi possono essere avvicinati solo attraverso un lavoro articolato su problemi via via più complessi in cui la forma di presentazione (sempre tenuta sotto controllo accurato da parte dell’insegnante) si avvicina a quella dei problemi reali. In un approccio di questo tipo il testo del problema non è un elemento accessorio, un mero contenitore dei dati, ma è proprio ciò che differenzia un problema vero da un semplice esercizio di calcolo. E sottolineiamo subito che la parola “testo” va intesa qui in senso ampio: significa tutto l’insieme di forme attraverso le quali si presenta la situazione da analizzare, con i dati da gestire e le domande cui viene chiesto di dare risposta; comprende anche quindi eventuali tabelle, basi di dati, figure e tutte le forme possibili di testi strutturati (orari, calendari….)- testi nei quali parte dell’informazione è contenuta nella struttura che viene data ai dati. Anche nei problemi di matematica, testo è tutto ciò che veicola l’informazione.

 

3. I programmi ministeriali.

Per fissare gli obbiettivi del lavoro sui problemi e coi problemi è opportuno partire dai programmi ministeriali. Nei programmi del 1985 i problemi hanno una presenza “forte” e in qualche modo autonoma: sono una delle aree (assieme all’aritmetica, alla geometria, alla logica, all’informatica, alla probabilità e statistica) in cui sono suddivisi gli obbiettivi e i contenuti dell’insegnamento della matematica.

 
L’attività sui problemi è vista come mezzo fondamentale per l’acquisizione delle nozioni e delle abilità matematiche. Giustamente viene messo in luce che la matematica “si fa” per problemi: la costruzione delle teorie è il risultato finale di un lungo processo che ha inizio da problemi. Questo è un dato di fatto evidente nell’evoluzione del pensiero matematico e, parallelamente, la stessa dinamica si verifica nell’acquisizione dei concetti matematici da parte di ciascun allievo.
Notiamo d’altra parte che nei programmi non c’è nessun riferimento al testo, cioè su come concretamente i problemi vanno presentati ai bambini. Questo probabilmente risente della pratica didattica in cui il “problema” è soprattutto quello che potremmo chiamare “il problema  matematico tradizionale”.

4. Il problema tradizionale ed il suo testo.

Come si presenta dal punto di vista del testo il problema di matematica nei sussidiari classici?
Il più delle volte siamo di fronte ad un testo di poche righe: nel giro di poche parole, spesso di una sola frase, vengono assegnati dei dati numerici e posta una domanda. E’ evidente lo sforzo per ridurre al minimo il ruolo del discorso, delle parole, per far sì che il testo sia nulla più che un veicolo per comunicare alcuni numeri.
Si tratta dunque di un enunciato  (ridotto all'essenziale e depurato di tutto ciò che non è strettamente necessario per la soluzione) in cui l’allievo, eseguendo con i dati presenti una o più operazioni aritmetiche, deve trovare il numero che risponde alla domanda posta. Anche i (rari) problemi di geometria in realtà sono quasi sempre problemi di aritmetica in un contesto geometrico. Per lo più, “risolvere il problema” significa individuare l’operazione (o le operazioni) che bisogna eseguire con i dati: il risultato dell’operazione fornisce automaticamente la risposta alla domanda, e poco importa che tale risultato non abbia senso come nel caso del problema del camion. I bambini usano espressioni sintetiche (e significative) del tipo “è un problema col più, è un problema col per”.
Sono molto interessanti a questo proposito i risultati di alcune ricerche condotte nelle scuole elementari da Rosetta Zan; da esse risulta che l’abitudine di associare automaticamente il problema di matematica ad una operazione aritmetica porta i bambini a mettere in secondo piano la domanda del problema stesso, al punto che molti bambini, richiesti di “inventare” un problema, scrivono una frase contenente tanti numeri ma nessuna domanda.
E’ evidente che il testo di questi problemi tende ad assumere caratteristiche sempre più stereotipate. Siamo di fronte a testi poverissimi: puri pretesti per cammuffare l’operazione su cui i bambini devono esercitarsi. A proposito quindi alcuni autori parlano opportunamente in questi casi di “problemi fittizi” o di “esercizi cammuffati”.
Nel Libro per la classe quarta edito dalla Libreria dello Stato nel 1941 solo 4 problemi (su oltre un centinaio) superano le cinque righe di lunghezza: il testo, inteso come contesto all’interno del quale viene individuato un problema,  è praticamente inesistente.
La situazione non cambia nei sussidiari degli anni cinquanta e sessanta, e non c’è dubbio che è questa l’accezione del termine “problema di matematica” che è rimasta nella memoria di molti adulti.
I testi e le raccolte di schede d’oggi presentano una panorama più ampio; rimane però molto frequente l’atteggiamento per cui il testo non è altro che un espediente per presentare i dati del problema. Vale poi la pena di osservare che la situazione non è diversa (anzi, è ancora più cristallizzata) nella scuola media.
Riteniamo invece che uno degli aspetti più formativi del lavorare per problemi, e quindi del lavorare sui problemi in matematica, consista nel lavoro sul testo: il testo è il veicolo delle informazioni; come tale, non possiamo costringerlo in stereotipi o forme decise a priori.
Il problema scolastico standard ha una sua utilità, naturalmente, ed  una sua funzione nell’economia generale dell’apprendimento della matematica. Infatti, come sottolineano i programmi, ogni nuovo concetto viene di solito affrontato presentando ai bambini una gamma di situazioni significative per tale concetto; dai tentativi di soluzione e sistemazione di queste situazioni l’insegnante fa uscire l’idea matematica (nozione, operazione, algoritmo…) che vuole introdurre. Prima che la soluzione venga scoperta, o costruita, queste situazioni sono veri “problemi”. E’ quindi vero che l’introduzione di nuovi strumenti matematici avviene attraverso i problemi. E’ naturale allora che il consolidamento delle nozioni apprese, nonché l’esercizio e la verifica dell’apprendimento avvengano attraverso problemi della stessa natura. Questi problemi, o almeno la gran parte di essi, saranno quindi naturalmente molto standardizzati: saranno esercizi che riprodurranno le situazioni significative da cui si era partiti.
Ciò è vero in particolare per le operazioni aritmetiche: ed è per questo che la maggior parte dei problemi presenti nei testi tradizionali sono di fatto esercizi di verifica sulle operazioni aritmetiche: il problema scolastico standard è quindi lo strumento privilegiato per fare esercizi sulle operazioni aritmetiche.
Però limitarsi a questo tipo di problemi non solo tende a svuotare di senso l'attività matematica per ridurla ad un gioco di regole e ricette, ma può essere direttamente dannoso.

Vorremmo partire da un esempio (liberamente) tratto da una scheda in uso per mostrare come i testi tradizionali possano addirittura svolgere una azione negativa nei confronti degli obbiettivi di ampio respiro di cui si parlava prima.
Luigi vuole distribuire 20 castagne tra i suoi amici (segue il disegno con quattro bambini). Puoi aiutarlo?
Quando un problema così viene proposto in una prima elementare i bambini lo risolvono a tentativi, e spesso qualcuno propone anche distribuzioni del tipo (5,5,6,4), che  sono corrette, visto che nel testo è stata dimenticata la condizione "la divisione deve avvenire in parti uguali". Quando invece se il problema viene proposto in una quarta tutta la classe risponde senza esitazione che ad ogni bambino toccano 5 castagne, fondamentalmente perché l'operazione 20:4=5 è una operazione conosciuta, "che viene". I bambini automaticamente riportano il testo del problema alla situazione standard, facendo attenzione soprattutto all'aspetto aritmetico; risolvono il problema cercando una operazione “compatibile” con i dati. Questo, dal loro punto di vista, è del tutto ragionevole- ma chiaramente è in contraddizione con uno degli obiettivi dichiarati dell'attività di problemi, vale a dire la capacità di analizzare un testo, individuando i dati essenziali per la risoluzione. I bambini aggiungono, senza rendersene conto, una condizione che riduce drasticamente il numero di soluzioni possibili, e che nel testo non c’è.
Naturalmente, la soluzione (5,5,5,5) è corretta, ma questo atteggiamento può essere pericoloso e arrivare a vere e proprie "deformazioni". Modifichiamo il problema nel modo seguente:
Luigi vuole distribuire 21 castagne tra i suoi amici (segue il disegno con quattro bambini). Puoi aiutarlo?
Questo problema è del tutto analogo al precedente, e può anche essere risolto a tentativi, trovando soluzioni corrette e compatibili con il testo dato. Tra le risposte tipiche di bambini “grandi” (cioè con una esperienza scolastica più lunga) troviamo invece:
- Non si può fare
- Il testo è sbagliato
o addirittura, tentativi di "forzare" il problema  scrivendo 21:4=5. Non è infrequente infatti il caso- tutti gli insegnanti ne hanno esperienza- di bambini che scrivono risultati aritmetici che sanno essere sbagliati pur di forzare il problema dentro uno schema conosciuto. In questo caso la maggioranza dei bambini non si accorge che non c'è la richiesta di una divisione in parti uguali. 

Da questo e da altri esempi appare chiaro che il bambino perde l'abitudine ad analizzare con cura il testo e a risolvere problemi che non rientrino negli schemi standard, o, perlomeno, ritiene più importante seguire le convenzioni scolastiche piuttosto che il testo concreto che ha sotto mano. Questo fenomeno, che come molti altri rientra nel quadro dei problemi relativi al contratto didattico, è stato molto studiato; a noi interessa vederlo in relazione all'atteggiamento dei bambini di fronte al testo. I bambini sono talmente abituati al problema scolastico, con tutte le sue convenzioni e i suoi dati ormai stereotipati che spesso modificano o “correggono” automaticamente i testi.
Cosa succede dunque? Mentre si ritiene (a ragione) che uno degli obiettivi del lavoro con i problemi sia quello di generare un atteggiamento rigoroso di analisi del testo, ci sembra che spesso si vada proprio nella direzione opposta: l'abitudine a risolvere solo problemi scolastici standard induce un atteggiamento deviato nei confronti del testo.
D’altra parte, è ovvio che più il testo è povero e stereotipato, più schematico e ripetitivo sarà il lavoro sul testo stesso, e si commetteranno errori come quello di aggiungere inconsapevolmente condizioni non presenti nel testo.
Come mettono in evidenza Fischbein e Zan, i problemi scolastici standard sono profondamente irreali (anche quando parlano di cose concrete e vicine ai bambini) per via di molte caratteristiche strutturali. Riportiamo dal loro lavoro alcuni degli stereotipi più comuni:
-           Il campo di conoscenze in cui cercare la soluzione è esplicitamente definito a priori
-           Sicuramente si dovranno utilizzare conoscenze scolastiche acquisite precedentemente in quel campo
-           Bisogna utilizzare tutti i dati e non mancano dati essenziali (a meno che non sia un esercizio speciale, in cui occorre cercare i dati mancanti o sovrabbondanti)
-           La soluzione esiste ed è unica.

A questi stereotipi possiamo aggiungere:
-           Il testo del problema è scarno; quando non lo è, una delle prime cose richieste al bambino è di “scarnificarlo”, e questo rivela solitamente un testo in cui ad un nucleo di dati sono state aggiunte parole o descrizioni più o meno ampie, in modo artificiale e posticcio.
-           La difficoltà solitamente si misura con le operazioni aritmetiche con cui il problema si risolve, e molto raramente con la sequenza di operazioni o procedure da effettuare
-           La possibilità di una soluzione “per tentativi” non è praticamente mai contemplata.

Riteniamo dunque che molti degli stereotipi dei problemi standard siano legati a doppio filo a stereotipi dei testi.

Oggi, almeno apparentemente, i problemi si presentano in una veste diversa: ci sono disegni, fumetti, discorsi… Spesso però la sostanza non cambia di molto: l’atteggiamento di molti degli autori di testi è quello di prendere il solito problema scolastico ed aggiungervi un contorno più o meno gradevole, talvolta aggiungendo dati privi di significato o informazioni palesemente prive di importanza, che il bambino deve per prima cosa eliminare e dimenticare. E questo, naturalmente, può anche avere una sua utilità, ma non tocca il cuore del “problema dei problemi”.
Cosa si può fare per uscire da questa situazione ripetitiva? Naturalmente, il primo pericolo da evitare è quello di cadere nell’eccesso opposto, presentando ai bambini “problemi” che nulla hanno a che fare con la matematica.
Proponiamo due filoni di lavoro sul testo, che si intrecciano naturalmente tra di loro: i testi/contesti ricchi ed i testi strutturati.

Un punto di partenza comune ad entrambi i percorsi può essere il lavoro su problemi che vanno risolti per tentativi. Le soluzioni per tentativi talvolta possono essere meno soddisfacenti dal punto di vista teorico, ma di fatto è per tentativi che di solito affrontiamo, almeno in prima battuta, le situazioni problematiche nella vita normale, non fosse altro che per meglio conoscere le caratteristiche del problema; e d’altra parte in una soluzione per tentativi si possono mettere in atto strategie anche molto sottili dal punto di vista logico (di ottimizzazione, di approssimazione….). Questi problemi (ne vedremo alcuni esempi) sono particolarmente interessanti anche dal punto di vista del lavoro sul testo: l’analisi del testo suggerisce i tentativi da fare; i risultati dei tentativi portano poi a selezionare le informazioni del testo e a rileggerlo utilizzandone i dati in maniera sempre più efficace.

 

5. Il lavoro su testi/contesti ricchi.

Nel problema scolastico standard il testo è un contenitore essenziale di dati numerici e domande. Il lavoro del bambino consiste nell’individuare i dati numerici ed il loro ruolo, ed isolare la domanda. Una volta fatto questo il testo viene abbandonato: contano solo i numeri. Questa procedura di per sé corretta viene poi spesso deformata: i bambini non leggono la domanda e “attaccano” subito a fare operazioni con i numeri, non prestano attenzione  a fatti importanti espressi a parole (tutto ciò che non è numero non conta….), rispondono a cose che non sono state chieste… Tutti questi comportamenti sono ben noti agli insegnanti.
In una situazione reale i dati importanti per un problema arrivano di solito insieme ad altri, e solo lavorando per risolvere il problema si riescono ad individuare: in altre parole, la selezione dei dati non può avvenire prima delle procedure risolutive, come nel problema standard, ma solo durante, contestualmente quindi al processo di risoluzione. Per questo il testo non può essere abbandonato subito, ma deve restare presente lungo tutta l’attività. Se si presenta al bambino un testo ricco, un testo articolato e descrittivo in cui le informazioni numeriche fanno parte integrante della descrizione della situazione e vengono presentate naturalmente, e le domande vengono poste solo dopo l’immersione nella situazione, i comportamenti deformati sono decisamente più rari. L’utilizzo di questi testi richiede però particolare attenzione dal punto di vista metodologico.
Nell’attività in classe collegata a questo laboratorio si è scelto spesso di far lavorare i bambini a piccoli gruppi; la dimensione di questi gruppi dipendeva sia dal tipo di attività che dalle caratteristiche delle classi e dei bambini. Questa scelta è risultata molto utile. In primo luogo ha facilitato “l’immersione” nel testo, portando i bambini a vederlo come un vero “problema”, come una situazione da risolvere (talvolta con qualche eccesso di immedesimazione). Inoltre tutti i bambini sono stati effettivamente coinvolti ed hanno preso parte attiva allo studio e alla risoluzione dei problemi proposti e, in quasi tutti i casi, anche bambini solitamente più in difficoltà di fronte a problemi di matematica hanno portato il loro contributo e ricevuto dai compagni stimoli e indicazioni. In particolare, i bambini sono stati in grado di scambiarsi le strategie durante il lavoro, e di effettuare verifiche sui risultati parziali. Questo è già di per sé un risultato notevole: molto spesso gli insegnanti si lamentano di non riuscire ad abituare i bambini ad effettuare controlli periodici sulla sensatezza e correttezza dei risultati ottenuti durante la risoluzione di un problema.

Un primo tipo di testo ricco può essere costituito da un racconto, con la descrizione di una situazione. Questo testo viene letto individualmente dai bambini, e se necessario arricchito e drammatizzato dall’insegnante. I dati numerici non devono essere posticci, devono far parte della descrizione d’insieme. Alla fine, le domande poste devono portare i bambini a lavorare sul testo per individuare e selezionare i dati necessari.

La macchina nuova (I).
                A casa di Luigi hanno finalmente deciso di cambiare l'automobile, che ormai ha tanti anni. Dopo aver comprato QuattroRuote , averlo letto, ed aver discusso in famiglia per tante sere il papà e la mamma hanno finalmente scelto. La nuova macchina costerà 25 milioni, una bella cifra.... Inoltre bisogna prenderla con la vernice metallizzata (indispensabile per il papà), che costa 500.000 lire, e con l'autoradio (a cui la mamma non vuole rinunciare), che costa altre 500.000 lire. E poi bisogna vendere bene la vecchia macchina al concessionario; insomma, fare un po’ di conti.
Il papà e Luigi passano quindi tutto il sabato seguente andando in  giro per le concessionarie della città.
Il primo concessionario, il signor Automobiloni, è molto simpatico, ed è pronto a fare un bello sconto: il 15 per cento sul prezzo dell'auto (ma non degli optionals!). Però trova che la vecchia auto della famiglia di Luigi sia proprio messa male, e non può proprio dare più di 5 milioni per quella vecchia carretta.
Luigi e il papà vanno allora dalla Automacchine, un negozio che ha una bellissima sede fuori città. L'impiegato con cui parlano ha un po' di fretta, ma riescono a sapere quello che importa: è più generoso per la macchina usata, che pagherà 6 milioni e mezzo, e può fare uno sconto del 10 per cento sulla macchina nuova e sugli optionals.
Con le idee un po' confuse, Luigi e il papa' vanno in un altro negozio, la Car&Car. Qui sono molto gentili ma decisi: non si fanno sconti! In compenso regalano al cliente gli optionals (autoradio e vernice metallizzata), e pagano la vecchia macchina per quello che vale realmente: 7 milioni e mezzo.
Cosa fare? Luigi vorrebbe aiutare il suo papà a scegliere bene, cioè a spendere il meno possibile. Da chi conviene andare per comperare la macchina nuova?

La macchina nuova (II).
                A casa di Luigi hanno finalmente deciso di cambiare l'automobile, che ormai ha tanti anni. Dopo aver comprato QuattroRuote, averlo letto ed aver discusso in famiglia per tante sere il papà e la mamma hanno finalmente scelto. La nuova macchina costerà 12.500 Euro, una bella cifra.... Inoltre bisogna prenderla con la vernice metallizzata (indispensabile per il papà), che costa 250 Euro, e con l'autoradio (a cui la mamma non vuole rinunciare), che costa altri 250 Euro. E poi bisogna vendere bene la vecchia macchina al concessionario.
Il papà e Luigi passano quindi tutto il sabato seguente andando in  giro per le concessionarie della città.
Il primo concessionario, il signor Automobiloni, è molto simpatico, ed è pronto a fare un bello sconto: 1875 Euro sul prezzo dell'auto. Però trova che la vecchia auto della famiglia di Luigi sia proprio messa male, e non può proprio dare più di 2500 Euro per quella vecchia carretta.
Luigi e il papà vanno allora dalla Automacchine, un negozio che ha una bellissima sede fuori città. L'impiegato con cui parlano ha un po' di fretta, ma riescono a sapere quello che importa: è più generoso per la macchina usata, che pagherà 3250 Euro, e può fare uno sconto di 1250 Euro sulla macchina nuova e di 25 Euro su ciascuno degli optionals.
Con le idee un po' confuse, Luigi e il papa' vanno in un altro negozio, la Car&Car. Qui sono molto gentili ma decisi: non si fanno sconti! In compenso, regalano al cliente gli optionals (autoradio e vernice metallizzata), e pagano la vecchia macchina per quello che vale realmente: 3750 Euro.
Cosa fare? Luigi vorrebbe aiutare il suo papà a scegliere bene, cioè a spendere il meno possibile. Da chi conviene andare per comperare la macchina nuova?

            Abbiamo riportato due varianti, sostanzialmente identiche, per sottolineare che la difficoltà del problema non si trova solo nelle operazioni o nei numeri, ma soprattutto nel lavoro da fare sulla situazione: in ognuno degli esempi presentati la difficoltà aritmetica potrà essere variata a seconda della classe in cui si vorrà lavorare. La prima versione richiede che i bambini sappiano lavorare con le percentuali; per la seconda bastano le conoscenze aritmetiche di una terza elementare.
Il testo-racconto deve cercare di evitare tutti gli stereotipi del problema scolastico tradizionale. In particolare, è interessante pensare a problemi in cui le "domande" sono anche molto diverse per difficoltà. L'esempio seguente è più chiaramente "matematico", e può essere un ponte verso l'analisi dei testi strutturati. Non avendo una soluzione unica  può essere particolarmente utile anche per abituare i bambini a verificare la soluzione ottenuta, confrontandola con il testo del problema e della consegna. Nelle attività in classe collegate al laboratorio è stata presentata una variante di questo problema usando il (vero) foglio pubblicitario delle offerte di un supermercato.

I pacchi regalo.
Si avvicina il Natale, e anche nel negozio di Luigi si stanno organizzando. Ci sono tutti i soliti articoli, ed in più sono arrivati anche i prodotti tipici di questo periodo: le bottiglie di spumante, i panettoni, i pandori, le confezioni speciali di cioccolatini, gli zamponi, le candele decorate,.... Il papà di Luigi gli chiede di aiutarlo a preparare dei cestini regalo da proporre ai clienti.
- Papà, ma quanta roba devo mettere in ogni cestino? E cosa devo metterci?
- Vedi Luigi- gli risponde il papà- dobbiamo accontentare un po' tutti: dobbiamo preparare cestini che costano poco e cestini di lusso, cestini per chi ama i dolci e cestini per chi vuole regalare delle bottiglie di vino, cestini per bambini e cestini per i grandi, magari con qualche bottiglia di liquore. Quindi puoi scegliere tu cosa mettere in ogni cestino, abbiamo tanta roba! Puoi anche mettere due cose uguali, in un cestino. Ricordati poi che anche il cestino e la confezione costano! Ogni cestino ci viene a costare 7.000 lire per il cesto, la carta, i fiocchi….  Guarda: qui c'è il listino dei prezzi:

 

                Proviamo allora a fare:
- un cestino di dolci economico, che costi meno di 30.000 lire
- un cestino di dolci di lusso, che costi tra le 30.000 e le 50.000 lire
- un cestino di vini e liquori economico, che costi meno di 30.000 lire
- un cestino di vini e liquori medio, che costi tra le 30.000 e le 40.000 lire
- un cestino di vini e liquori di lusso, che costi tra le 40.000 e le 60.000 lire
- cestini misti, nelle varie fasce di prezzo: tra 20.000 e 30.000 lire, tra 30.000 e 40.000 lire, tra 40.000 e 50.000 lire, tra 50.000 e 60.000, tra 60.000 e 70.000, tra 70.000 e 80.000....

                                   
Il problema, in sé, risulta inizialmente abbastanza difficile (può essere proposto in una terza) perché contiene molti dati e sono possibili molte scelte (a differenza del problema standard in cui non solo la soluzione, ma spesso anche la strategia di risoluzione è unica). E' sicuramente più facile che i bambini trovino delle soluzioni corrette se partendo dal testo costruiscono un modello materiale della situazione, ad esempio realizzando dei cartellini con il prezzo degli articoli. I bambini adottano spontaneamente delle strategie "try and error", come poi di fatto fanno nelle analoghe situazioni reali. Notiamo en passant che nel risolvere un problema di questo genere i bambini devono fare moltissime operazioni: si ottiene quindi anche il risultato di fare esercizio di aritmetica.
Tra le varie soluzioni provate, poi, può essere utile andare a guardare quali sono più "reali", più soddisfacenti alle esigenze del cliente (anche se, naturalmente, qui entrano in ballo i fattori emotivi), introducendo così e distinguendo fattori non matematici di scelta. Alcuni casi possibili (ad esempio un cestino con un solo articolo) vanno bene dal punto di vista matematico (e questo va sempre sottolineato!), ma nessun commerciante probabilmente lo farebbe mai. Si possono anche domande più articolate; ad esempio:

E' possibile preparare un cestino con almeno un liquore ed un dolce, che costi meno di 25.000 lire? Perché no?

            Rendere rigorosa la risposta al "Perché no?" è sicuramente un buon esercizio di logica. E volendo proporre problemi di logica, e non solo di aritmetica, un tipo di testo che i bambini conoscono molto bene e che può servire da punto di partenza per molti poblemi sono le tabelline dei campionati. In alcuni casi la lettura e l'analisi del testo richiedono molta attenzione e sottigliezza. Il rischio, naturalmente, è che i bambini si lascio distrarre dal "tifo", cioè, ancora una volta, proprio da quei fattori emotivi e affettivi che vogliamo arrivare a separare dai fattori matematici. L'esempio che segue è dunque volutamente "fantastico".

 

Il campionato sta finendo.
Nel campionato di calcio, si sa, si danno tre punti ala squadra che vince una partita e un punto a testa quando si pareggia. Se alla fine del campionato due squadre hanno lo stesso numero di punti si deve fare uno spareggio.
Nel campionato della foresta mancano ancora due giornate, e la testa della classifica è questa:

Leoni                     25 punti
Zebre                     23
Ippopotami          23
Giraffe                  21
Gazzelle                20
Iene                       18

Le partite che restano da giocare tra queste sei squadre sono:

Leoni-Zebre                         e                                             Leoni-Iene
Ippopotami-Iene                                                                Ippopotami-Giraffe
Giraffe-Gazzelle                                                                 Zebre-Gazzelle

L'allenatore dei Leoni dice ai suoi:
- Coraggio ragazzi! Ci basta vincere al prossimo turno e abbiamo vinto il campionato!
Il presidente lo corregge dicendo:
-  No che non ci basta! Abbiamo ancora due partite. Dobbiamo vincerne una e non perdere l’altra!
Il medico della squadra dice allora:
-Ma non sapete fare i calcoli? Ma chi era il vostro maestro di matematica? Neanche così siamo sicuri di vincere il campionato: potremmo arrivare allo spareggio.
Chi ha ragione tra i tre? A quanti punti al massimo possono arrivare le squadre del campionato?
Le Iene, hanno ancora qualche speranza di vincere il campionato?
E le Giraffe? Cosa deve succedere perché le Giraffe vincano il campionato?  Possono vincere le due partite che restano,ma questo basta?
Gli Ippopotami sono un po' scoraggiati. Il loro allenatore dice:
- Anche se riusciamo a vincere tutte le partite che ci rimangono, non è detto che  riusciamo ad agguantare lo spareggio; dipende da quello che fanno gli altri.
L'allenatore delle Zebre gli risponde:
- Noi invece, se vinciamo tutte le partite che ci rimangono, siamo sicuri di arrivare almeno allo spareggio.
E l'ippopotamo non capisce:
- Ma come mai? Abbiamo gli stessi punti in classifica!
Sapresti spiegare perché?
A quanti punti possono arrivare al massimo i Leoni? E gli ippopotami?
Potrebbe finire il campionato con uno spareggio Leoni- Gazzelle? E con uno spareggio Leoni-Ippopotami? E con uno spareggio Leoni-Zebre?

            In problemi come questi il bambino deve procedere, inizialmente, per tentativi, eventualmente rappresentando la situazione in qualche modo; meglio ancora simulando un possibile risultato per la prima giornata e poi vedendo cosa può succedere nella seconda. Ma attenzione! Il numero di possibilità è molto alto (81), e quindi elencarle tutte è fuori dalla portata del bambino. Dunque partendo dal testo della consegna il bambino deve individuare quali casi considerare e quali escludere: iniziare a selezionare tra i dati.  Il maestro non deve avere naturalmente la pretesa che il bambino elabori da subito una strategia logica coerente: questo sarà un punto d'arrivo, semmai, dopo che ha affrontato in maniera più empirica o operativa vari problemi dello stesso tipo.

6. Testi strutturati.
Un altro approccio potenzialmente molto ricco è costituito dal lavoro diretto su un testo strutturato. Qui la ricchezza del testo consiste nella quantità di informazioni che possono venire veicolate in modo compatto. La varietà di situazioni che questi testi presentano merita un’analisi dettagliata.
Nel nostro agire quotidiano ci incontriamo continuamente con “testi” fortemente strutturati: il dato numerico ci arriva già inserito in una struttura che ne determina buona parte del significato. Si tratta di orari dei programmi TV, orari dei treni e degli autobus, informazioni e dati riportati sulle scatole dei prodotti d’uso comune, cartellini dei prezzi sui banchi del supermercato, scontrini, classifiche del campionato di calcio, carte geografiche, rappresentazioni grafiche a torte, a blocchi, a diagramma…. Testi di questo tipo non sono una caratteristica dei nostri giorni: il calendario, solo per fare un esempio, è un testo strutturato che esiste da tempo immemorabile.
Saper “leggere” e decodificare (magari intrecciandoli tra di loro) questi testi è una capacità molto importante da acquisire, vitale nel mondo di oggi in cui la quantità di informazione che riceviamo ogni giorno è tale che non può essere controllata se non è adeguatamente strutturata.
Nella strutturazione di questi testi intervengono concetti e strumenti matematici e logici, più o meno espliciti: l’esempio più evidente di testo-informazione strutturato su base logica è quello di un  database.
Tutti questi testi “strutturati” sono una fonte utilissima di problemi matematici: attraverso di essi si possono raggiungere allo stesso tempo sia l’obbiettivo tradizionale dei problemi di matematica (compiere esercizi di aritmetica o geometria partendo da situazioni più o meno “reali”), che l’obbiettivo più generale di imparare a interpretare e decodificare i modi attraverso cui si trasmettono le informazioni al giorno d’oggi.
Prendiamo per esempio i problemi relativi agli orari dei mezzi pubblici (treni, autobus). Insegnare a leggere l’orario dei treni richiede parecchio tempo (anche limitandosi alle informazioni più importanti); spetta all’insegnante saper trovare di volta in volta gli artifici giusti per rendere il problema proposto accessibile ai bambini senza impoverire eccessivamente il testo/contesto (colorare con l’evidenziatore la riga della stazione di partenza e arrivo, cancellare informazioni secondarie che potrebbero confondere…). Una volta superata la fase di “conoscenza” del testo, ci sono domande possibili per tutti i bambini.

 

L’orario dei treni.
Partendo dalla fotocopia di una  pagina dell’orario dei treni  relativa alla tratta Brennero-Verona poniamo ai bambini alcune domande che richiedono operazioni aritmetiche.
-              Proviamo a vedere quanto tempo ci mette un treno per andare da Trento ad Ala. Ci sono treni più veloci e treni più lenti; quale è il treno più veloce per andare da Trento ad Ala? Proviamo a fare una classifica dei treni del mattino.
-              E per andare da Trento a Verona, qual è il treno più veloce?
-              L’orario ci dice anche i chilometri che il treno percorre. Quanti chilometri di ferrovia ci sono tra Bolzano e Trento? E fra Trento e Peri?
-              Guarda il treno R5407. Quanto tempo ci mette per andare da Bolzano a Trento? E per andare da Trento a Peri? Secondo te, perché ci mette più tempo nel secondo tratto di viaggio?

 

Naturalmente, questo modo di procedere è ben diverso dal presentare al bambino il classico problema scolastico: “Il treno parte da Trento alle 9.05 e arriva a Verona alle 10.08. Quanto tempo impiega nel tragitto?”  Se vogliamo, il testo tradizionale può essere usato come preparatorio al problema vero e proprio, che consiste nel leggere correttamente l’orario ferroviario e di individuare in esso i dati che interessano.  I dati, nella vita normale, si presentato il più delle volte sotto forma di testo strutturato e non come testo scolastico.
Via via che cresce la dimestichezza dei bambini si possono affrontare problemi più complessi: vediamo un esempio di problema più difficile che richiede di realizzare una analisi dei casi possibili più articolata e di mettere in atto strategie di risoluzione non elementari. Per affrontarlo, i bambini devono essere aiutati a ricavare le informazioni necessarie dalla pagina dell'orario che riporta i prezzi dei biglietti e degli abbonamenti.

 

L’abbonamento al treno.
Nel mese di luglio Luigi va tutti i giorni dal lunedì al venerdì da Ala a Verona, viaggiando in seconda classe: prende il treno al mattino e ritorna a casa, sempre col treno, nel pomeriggio. Gli conviene fare l’abbonamento? Quanto risparmia?
Suo papà va due volte alla settimana, il lunedì e il venerdì, da Ala a Bologna, sempre in seconda classe, andata e ritorno. Gli conviene fare l’abbonamento? Lui è convinto di sì, anzi dice alla moglie:
“Con quello che spendo comprando ogni volta il biglietto di seconda mi posso pagare l’abbonamento in prima classe, e ci guadagno pure”.
Ha ragione? E se faceva lo stesso discorso in giugno? E in agosto?

In questo caso i bambini devono “incrociare” due testi strutturati, il tariffario delle ferrovie e il calendario, e ricavare da essi i dati numerici necessari per risolvere il problema. Il lavoro è effettivamente complesso, e bisogna guidare i bambini ad articolare una strategia di risoluzione tenendo presenti tutti i dati e le informazioni (non necessariamente numeriche) che sono contenute nel testo.
Questo problema è “difficile” per dei bambini. Ma guardandolo attentamente ci si accorge che le operazioni coinvolte non sono più difficili di quelle che incontrano normalmente in quarta o in quinta (anzi, hanno “numeri” molto semplici). La sequenza logica necessaria per costruire la soluzione è fatta di alcuni passaggi molto semplici. Dove sta allora la difficoltà?
Prima di tutto, risiede nel fatto che questo non è un problema di quelli che il bambino è abituato ad incontrare. Inoltre richiede un’analisi del testo strutturato molto selettiva: bisogna individuare e “tirare fuori” i dati che ci occorrono, senza farsi distrarre da tutti gli altri. Quindi il bambino non “vede” subito i numeri con cui deve fare le operazioni; deve cercarseli nel testo. Notiamo tra l’altro che il fatto che il racconto si svolge in luglio (indicazione che il bambino potrebbe mettere da parte perché “non c’entra con la matematica”) ha la sua importanza perché il numero di viaggi che Luigi o suo papà devono fare dipende dal mese.
Non tutti gli adulti affrontano un problema come questo nel modo più efficiente, cioè facendo un’analisi dei costi di ciascuna opzione. Dipenderà anche dalla matematica e dai problemi che hanno incontrato nella loro carriera scolastica?

 

7. Dalla lettura del testo al lavoro sul testo.

A questo punto è necessario toccare almeno in modo molto sommario la problematica legata allo sterminato campo del “problem solving”. Cosa vuol dire risolvere un problema? Da che cosa bisogna partire per elaborare un processo che porta (quando possibile) alla soluzione di un problema?
Come tutti gli insegnanti sanno si parte dal problema stesso e dalle conoscenze ed esperienze che il soggetto ha. E’ ben noto che i bambini a scuola tendono a privilegiare esageratamente il secondo aspetto. Abbiamo visto che non si chiedono, normalmente, “Che cosa mi chiede questo problema?”, ma piuttosto “Quali operazioni, tra quelle che conosco, devo fare?”.
Un testo ricco serve per far entrare il bambino nella situazione, e per far sì che si ponga veramente come domanda quella consegna che viene proposta. Un problema dovrebbe diventare come una “sfida” personale da raccogliere- e questo è possibile solo cambiando il modo con cui i problemi vengono presentati.
Pensare che i dati essenziali si “impongano” da sé è quanto mai arbitrario; dalla consegna (e dalla sua eventuale scomposizione in consegne intermedie) deve partire l’analisi del testo, analisi che di ripete e si modifica in itinere mano a mano che si sviluppa la strategia di risoluzione.
Ai bambini di solito non vanno fatti grandi discorsi di metodo: i metodi vanno proposti in azione in modo molto discorsivo e naturale. Vogliamo abituarli a lavorare con il testo e sul testo, anche nei problemi di matematica, e allora cercheremo con naturalezza di mettere in evidenza alcuni momenti chiave:

1. L’individuazione della situazione matematizzabile e della richiesta
2. l’individuazione progressiva dei dati importanti
3. La costruzione della strategia risolutiva
4. Il confronto della soluzione ottenuta con il testo.

Nella prima fase si entra nel testo nella sua interezza, cercando di comprendere la situazione, la domanda che viene posta e di capire quale matematica viene coinvolta. Nella seconda fase, a partire dalla richiesta individuata, iniziamo a distinguere qualitativamente tra i dati contenuti nel testo. Nella terza fase si costruisce e si mette in atto la strategia, ricorrendo periodicamente al testo per selezionare ulteriormente le informazioni. Nell’ultima fase i dati/risultati ottenuti vengono confrontati con il testo, per vedere se sono compatibili con tutte le condizioni date e se rispondono effettivamente alla consegna.

 

8. Nota finale.
Gli articoli di Rosetta Zan cui abbiamo fatto riferimento nel testo sono:
I modelli concettuali di “problema” nei bambini della scuola elementare, in tre parti, in “L’insegnamento della Matematica e delle Scienze Integrate”, vol.14 n.7, luglio 1991; vol.14 n.9, settembre 1991; vol. 15 n.1, gennaio 1992.
In questi articoli c’è una ottima bibliografia di partenza per chi volesse approfondire l’argomento.