Carl Friedrich Gauss

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Carl Friedrich Gauss (o Gauß Pronuncia [?]; Braunschweig, 30 aprile 1777 – Gottinga, 23 febbraio 1855) è stato un matematico, astronomo e fisico tedesco, che ha fornito contributi determinanti all'analisi matematica, teoria dei numeri, calcolo numerico, geometria differenziale, geodesia, magnetismo e ottica.
Talvolta definito "il più grande matematico della modernità" - in contrasto a Archimede, che egli stesso considerava il più grande dei matematici per quanto riguardava "l'antichità" - e il "principe della matematica", Gauss è ricordato tra i più importanti matematici della storia, avendo contribuito in modo decisivo all'evoluzione delle scienze matematiche, fisiche e naturali.

Biografia

L'infanzia e prime scoperte

Nacque a Brunswick, nel ducato di Brunswick-Lüneburg (ora parte della Bassa Sassonia, Germania), figlio unico di una famiglia di bassa estrazione sociale e culturale. Fin da bambino impressionò tutti con la sua spiccata intelligenza. Secondo la leggenda, Gauss all'età di tre anni avrebbe corretto un errore di suo padre nel calcolo delle sue finanze.
Un altro aneddoto, forse più verosimile, racconta che quando andava a scuola da bambino all'età di nove anni, l'insegnante, per mettere a tacere l'allievo, gli ordinò di fare la somma di tutti i numeri da 1 a 100. Poco dopo, sorprendendo tutti, il giovanissimo Carl diede la risposta esatta, essendosi accorto che mettendo in riga tutti i numeri da 1 a 100 e nella riga sottostante i numeri da 100 a 1, ogni colonna dava come somma 101: Carl fece dunque il prodotto 100x101 e divise per 2, ottenendo facilmente il risultato (vedi somma di una progressione aritmetica).
Il Duca di Brunswick, impressionato dalle sue capacità, finanziò il soggiorno di Gauss al Collegium Carolinum, da dove passò nel 1795 all'Università di Gottinga. Mentre era all'università, Gauss riscoprì una serie di importanti teoremi. Il suo primo importante risultato fu lo studio dei poligoni regolari costruibili con riga e compasso che lo portò a teorizzare nel 1796 la costruzione del poligono regolare a 17 lati. Questo era la scoperta più importante in questo campo ed aveva occupato i matematici fin dall'epoca degli antichi greci. Gauss voleva che un poligono regolare a 17 lati (eptadecagono) fosse inciso sulla sua tomba ma lo scalpellino rifiutò dicendo che esso sarebbe stato indistinguibile da un cerchio.
Il 1796 fu probabilmente l'anno più produttivo di Gauss. Oltre alla costruzione dell'eptadecagono (30 marzo) inventò l'aritmetica modulare, importantissimo strumento della teoria dei numeri e dette la prima dimostrazione della legge di reciprocità quadratica (8 aprile). Sempre in quell'anno congetturò per primo la validità del teorema dei numeri primi (31 maggio) e che tutti i numeri naturali sono rappresentabili al più come somma di tre numeri triangolari (10 giugno). Tuttavia Gauss non pubblicò queste due ultime scoperte ma le tenne per sè. Infatti Gauss era affetto da una sorta di mania di perfezionismo, che gli impediva di pubblicare le sue dimostrazioni se non erano assolutamente rigorose. Scriveva invece le sue scoperte nel suo diario in maniera criptica. Per esempio, la scoperta che ogni intero poteva essere rappresentato come somma di al più tre numeri triangolari venne scritta così: "Eureka! num= Δ + Δ + Δ".

La maturità

Nel 1799 Gauss diede una dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra. Molti matematici avevano provato a dimostrarlo tra cui Jean le Rond d'Alembert ed Eulero. Produsse negli anni quattro diverse dimostrazioni, chiarendo il concetto di numero complesso strada facendo.
Gauss diede anche un importantissimo contributo alla teoria dei numeri con il suo libro del 1801 Disquisitiones Arithmeticae, che conteneva un'esposizione chiara dell'aritmetica modulare e la dimostrazione della reciprocità quadratica. In quello stesso anno l'astronomo italiano Giuseppe Piazzi scoprì l'asteroide Cerere, ma lo poté seguire solo per alcuni giorni perché scomparve dietro la Luna. Gauss predisse il punto in cui sarebbe riapparso, facendo uso dell'appena scoperto metodo dei minimi quadrati. Cerere riapparve proprio nel punto indicato da Gauss. Questo straordinario successo lo portò a essere conosciuto anche al di fuori dalla cerchia dei matematici.
Rendendosi conto che se l'appoggio economico del Duca di Brunswick fosse venuto a mancare egli sarebbe probabilmente caduto in miseria occupandosi di matematica pura, decise di cercare un incarico in qualche osservatorio astronomico e, nel 1807, divenne il direttore dell'osservatorio di Gottinga, incarico che mantenne fino alla sua morte. Interessante in questo periodo è la sua corrispondenza con la matematica Sophie Germain.
La scoperta di Cerere portò Gauss a interessarsi delle perturbazioni degli asteroidi. Le sue scoperte furono pubblicate nel 1809 nel volume Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientum (Teoria del moto di corpi celesti che si muovono percorrendo sezioni coniche intorno al sole).
Gauss, aveva saputo trovare Cerere grazie all'appena scoperto metodo dei minimi quadrati (che pubblicherà solo nel 1809, quando fu in grado di dimostrarlo adeguatamente), il quale minimizzava gli impatti degli errori di misurazione.
In questi anni entrò in conflitto con Adrien-Marie Legendre, poiché sembra che egli avesse scoperto senza pubblicare alcune scoperte di Legendre, come appunto il metodo dei minimi quadrati e la congettura del teorema dei numeri primi. Gauss tuttavia era un uomo semplice, e non si lasciò coinvolgere in queste dispute. Al giorno d'oggi, sembra confermato che effettivamente Gauss abbia scoperto tali risultati prima di Legendre.
Gauss era un prodigioso "calcolatore". Si dice che si divertisse a setacciare un intervallo di mille numeri in cerca di numeri primi appena aveva un quarto d'ora di tempo, cosa che normalmente richiederebbe ore e ore di duro lavoro. Dopo aver calcolato l'orbita di Cerere gli fu chiesto come avesse fatto a ottenere valori numerici così precisi. Rispose "Ho usato i logaritmi". L'interlocutore allibito gli chiese allora dove avesse trovato tabelle dei logaritmi che arrivavano fino a numeri così grandi. La replica di Gauss fu: "Tabelle? Li ho calcolati mentalmente!"
Nel 1818 fu chiesto a Gauss di compiere una rilevazione geodesica dell'Hannover. Gauss accettò il compito di buon grado, applicandovi la sua straordinaria abilità nel calcolare, unita all'utilizzazione dell'elitropio, costituito da una serie di specchi che riflettevano i raggi solari, e di un piccolo telescopio. Intrattenne una regolare corrispondenza con Schumacher, Olbers e Bessel, in cui riportava i suoi progressi e discuteva il problema.
Sembra che Gauss sia stato il primo a scoprire le potenzialità della geometria non euclidea, ma sembra per paura di pubblicare un lavoro così rivoluzionario tenne per sé i risultati. Questa scoperta fu una delle più importanti rivoluzioni matematiche di tutti i tempi. Essa consiste sostanzialmente nel rifiuto di uno o più postulati di Euclide, cosa che porta alla costruzione di un modello geometrico consistente e non contraddittorio. L'amico di Gauss Farkas (Wolfgang) Bolyai aveva provato invano a dimostrare il V postulato. Suo figlio János Bolyai invece (ri)scoprì la geometria non euclidea nel 1829, pubblicando poi il suo risultato nel 1832. Prima della pubblicazione Gauss aveva scritto a Farkas Bolyai, che gli aveva chiesto un parere: "Lodare questo lavoro sarebbe come lodare me stesso. Infatti esso coincide quasi esattamente con le meditazioni che ho fatto trenta, trentacinque anni fa". Questo amareggiò molto Janos, che mise fine ai rapporti con Gauss pensando che stesse rubando la sua idea. Al giorno d'oggi la precedenza di Gauss è quasi sicuramente appurata.
La cartografia dell'Hannover portò Gauss a sviluppare la distribuzione gaussiana degli errori, chiamata anche variabile casuale normale usata per descrivere la misura degli errori. Dalla stessa ricerca nasce l'interesse per la geometria differenziale, da cui sviluppò il cosiddetto Teorema egregium, che stabilisce importanti proprietà nella nozione di curvatura.
Benché non avesse mai lavorato come professore di matematica e non gradisse l'insegnamento, diversi suoi studenti sono diventati importanti matematici, come ad esempio Richard Dedekind e Bernhard Riemann.
Nel 1831 Gauss iniziò una fruttuosa collaborazione col professore di fisica Wilhelm Eduard Weber, che portò alla scoperta di una nuova legge del campo elettrico (teorema del flusso) e della seconda legge di Kirchhoff. Gauss e Weber costruirono un primitivo telegrafo elettromagnetico nel 1833. Gauss e Weber studiarono anche la variazione del campo magnetico terrestre, e per questo fu ordinata la costruzione di un "osservatorio magnetico" nel giardino dell'osservatorio astronomico.
Gauss morì a Gottinga nel 1855 e fu interrato nel cimitero di Albanifriedhof. Il suo cervello fu studiato da Rudolf Wagner. Si trovò che era particolarmente ricco di circonvoluzioni. Qualcuno ha ipotizzato che il suo genio fosse dovuto a questo.

Personalità e vita privata

Era un perfezionista e un lavoratore accanito. Secondo un famoso aneddoto, mentre stava lavorando gli sarebbe stato riferito che sua moglie stava morendo. Gauss avrebbe risposto: "Ditele di aspettare un attimo, sono impegnato". Non pubblicò molte opere: il suo motto era Pauca sed matura (Poche cose, ma mature).
Gauss era profondamente religioso e conservatore. Sostenne la monarchia e si oppose a Napoleone. La vita privata di Gauss venne toccata dalla prematura morte della sua amata prima moglie (Johanna Osthoff, morta nel 1809), seguita poco dopo da un loro figlio (Luis). Gauss cadde in una depressione dalla quale non si riprese mai completamente.
Si risposò con Friederica Wilhelmine Waldeck (detta Minna), ma questo secondo matrimonio pare non sia stato molto felice. Quando questa seconda moglie morì dopo lunga malattia nel 1831, una delle sue figlie (Therese) prese in mano la conduzione familiare, e curò Gauss fino alla sua morte. Sua madre visse nella sua casa dal 1812 fino alla propria morte nel 1839. Rare erano le collaborazioni con altri matematici, che lo consideravano solitario e austero.
Gauss ebbe sei figli, tre da ciascuna moglie.
Con Johanna (1780-1809) ebbe Joseph (1806-1873), Wilhelmina (1808-1846) e Louis (1809-1810). Di tutti i figli di Gauss, si dice che fosse Wilhelmina quella che ereditò il talento del padre, ma sfortunatamente morì giovane.
Con Minna (Friederica Wilhelmine) Waldeck (1788-1831) ebbe Eugene (1811-1896), Wilhelm (1813-1879) e Therese (1816-1864). Eugene emigrò — in seguito a dissidi con il padre — negli Stati Uniti attorno al 1832, dove si installò a St. Charles nel Missouri e dove diventò un importante membro della comunità. Wilhem si installò nel Missouri qualche anno dopo, cominciando come contadino e arricchendosi successivamente con il commercio di calzature a St. Louis. Therese condusse la famiglia fino alla morte di Gauss (nel 1855), dopodiché si sposò.
La vita e la personalità di Gauss sono tratteggiate, parallelamente a quelle di Alexander von Humboldt, in una sorta di romanzo filosofico di Daniel Kehlmann del 2005 (pubblicato in italiano da Feltrinelli nel 2006 con il titolo La misura del mondo).

Scoperte matematiche

Algebra

Gauss fu il primo a dimostrare, nel 1799, il Teorema fondamentale dell'algebra, il quale afferma che il campo dei numeri complessi è algebricamente chiuso, ossia che ogni polinomio a coefficienti complessi ha almeno una radice in C. Dal teorema segue che un polinomio di ennesimo grado ha n radici in campo complesso.
La dimostrazione originale di Gauss è importante in quanto contiene il concetto di piano complesso (o appunto piano di Gauss). Sostanzialmente, si individua con le due cordinate di un punto in un piano cartesiano la parte reale (sull'ascissa), e la parte immaginaria (sull'ordinata). Il piano complesso è stato utilizzato poi da moltissimi altri matematici che lo hanno valorizzato appieno.

Geometria

 

L'eptadecagono.
Gauss risolse appena diciannovenne un problema aperto da millenni, ossia determinare quali poligoni regolari possono essere costruiti usando solo riga e compasso. La sorprendente risposta fu che si può costruire con riga e compasso ogni poligono regolare, a condizione che il numero n dei lati possa essere scritto nella forma:
n=2^{k_0}{F_1}^{k_1}{F_2}^{k_2}\cdots{F_s}^{k_s}
dove Fs è l'ennesimo numero primo di Fermat. Gauss provò così che il poligono regolare a 17 lati (o eptadecagono) poteva essere costruito con riga e compasso. La costruzione effettiva fu trovata da Johannes Erchinger pochi anni dopo. Si interessò anche di impacchettamenti di sfere, dimostrando un caso speciale della congettura di Keplero.
Successivamente i suoi studi lo portarono a concepire un tipo di geometria completamente nuovo: la geometria differenziale. In questo tipo di geometria l'utilizzo di tecniche di calcolo infinitesimale permette di introdurre concetti chiave come curvatura, geodetica, campo vettoriale e forma differenziale. Alcuni dei risultati ottenuti da Gauss furono pubblicati nel Disquisitiones generales circa superficies curvas.
Come già accennato Gauss fu poi un pioniere nello sviluppo delle geometrie non euclidee. Gauss fu forse il primo a comprendere che il V postulato di Euclide non era indispensabile per costruire una geometria coerente. Gauss iniziò così a sviluppare la geometria iperbolica. In questa geometria per un punto passano più di una parallela a una retta data. Inoltre in ogni triangolo la somma degli angoli interni è sempre inferiore a 180° gradi. Questo modello geometrico fu sviluppato indipendentemente da almeno altre due persone, János Bolyai e Nikolai Ivanovich Lobachevsky.

Teoria dei numeri

Gauss si occupò di Teoria dei numeri ottenendo interessanti risultati. Il suo trattato sull'argomento, Disquisitiones arithmeticae, è divenuto un classico della matematica. In questo libro, Gauss raccoglie risultati della teoria dei numeri ottenuti da matematici come Fermat, Euler, Lagrange e Legendre, aggiungendovi importanti nuovi contributi originali.
Le Disquisitiones coprono argomenti che vanno dalla teoria elementare dei numeri a quel ramo della matematica che oggi è chiamato teoria dei numeri algebrica. Tuttavia è bene precisare che Gauss in quest'opera non riconosce esplicitamente il concetto di gruppo. Introduce invece, l'aritmetica modulare, divenuta poi fondamentale per lo sviluppo della teoria dei numeri. L'aritmetica si fonda sull'importante concetto di congruenza:
a \equiv b \pmod{n}
quando la differenza tra a e b è un multiplo di n. Gauss studiò anche le equazioni diofantine, dimostrando l'importantissimo teorema di reciprocità quadratica. Espresse per primo questo teorema nel linguaggio dell'aritmetica modulare.
Scoprì poi che ogni numero intero può essere espresso come somma di (al massimo) tre numeri triangolari. Gauss è poi noto per aver congetturato il Teorema dei numeri primi, che stabilisce un collegamento tra l'andamento dei numeri primi e la funzione logaritmica. Questa scoperta era una delle più importanti sull'argomento dal tempo degli antichi greci. Il teorema sarà dimostrato nel 1894 da Jacques Hadamard e Charles Jean de la Vallée-Poussin.

Statistica



distribuzione gaussiana degli errori
Gauss studiò poi il comportamento degli errori. Inventò il metodo dei minimi quadrati, che tende a ridurre al minimo gli errori di misurazione. Grazie a questo metodo Gauss riuscì a calcolare l'orbita del pianetino Cerere, dopo che erano state compiute solo poche osservazioni empiriche sul suo moto.
Tuttavia il lavoro più importante in questo senso fu la scoperta della variabile casuale normale, dette anche gaussiana. La curva è generata dalla funzione:
f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \; e^ {- \frac{\left( x - \mu \right)^2}{2 \sigma ^2}}
e descrive il comportamento e l'entità degli errori di misurazione. La variabile normale è sicuramente una delle più importanti variabili casuali, ed è estremamente diffusa in statistica.

 

Fonte: http://www.scuoletoscane.it/public/pitigliano/documenti/downloads/Matematica/Gauss%20%20(Hannah%20Lesch).doc

Sito web da visitare: http://www.scuoletoscane.it

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