La geometria descrittiva ha per oggetto le relazioni tra elementi geometrici correlati attraverso le proiezioni su una terna di piani detta terna dei piani principali che ne definisce la posizione nello spazio. I tre piani principali sono detti Piano orizzontale (PO), Piano verticale (PV) e Piano laterale (PL)
La Geometria .Descrittiva., almeno nella sua accezione grafica, si occupa :

• della definizione di elementi geometrici  e delle loro individuazione spaziale attraverso le proiezioni ortogonali
• della definizione della intersezione  di diversi elementi tra loro
• dello sviluppo piano di superfici nello spazio.

Posizionamento di elementi

 

• POSIZIONAMENTO DI UN PUNTO

Il punto P viene individuato da 2 delle sue 3 proiezioni (date 2 proiezioni è possibile individuarne la terza). Il PO ,come il PL vengono ribaltati sul PV (fig. 1 e 2 )
In questa situazione le proiezioni P’1 e P”1 giacciono sulla stessa verticale mentre le proiezioni P’1 e P”’1 si trovano sulla stessa orizzontale. Note P’1 e P”1 si può determinare P”’1 con una semplice costruzione. ( fig. 3) In pratica bastano quindi le sole proiezioni P’1 e P”1  e solo in casi particolari si fa riferimento alla terza proiezione .
I due piani PO e PV dividono lo spazio in 4 parti che prendono il nome di 1°2°3°e 4° quadrante,
la linea che divide il PV dal ribaltamento di PO è detta “linea di terra” e corrisponde alla intersezione nello spazio tra i due piani verticale ed orizzontale. In fig.4 sono rappresentate le proiezioni di punti appartenenti ai diversi quadranti
Se un punto appartiene al PO (o al PV) la sua prima (o seconda) proiezione sta su PO (o PV) mentre l’altra giace sulla linea di terra. (fig.5) .Se il punto appartiene alla linea di terra le due proiezioni coincidono .
b)   POSIZIONAMENTO DI UNA RETTA
b1)  retta obliqua generica
Viene individuata dai 2 punti nei quali incontra i due piani principali: tali punti definiscono le proiezioni della retta sui due piani che vengono dette “tracce” della retta.(fig.6 e 7) Naturalmente può essere individuata da 2 punti qualsiasi(fig.7 bis)
b2)  retta parallela al PO
In questo caso una delle 2 tracce (t2) è la parallela alla L di T passante per la proiezione del punto P” in cui la retta incontra il PV  mentre l’altra traccia non esiste in quanto la retta (parallela al PO) non incontra questo piano. Occorre allora conoscere un altro punto Q della retta la cui proiezione Q’ permette di trovare la seconda traccia t1 come retta P’Q’. (fig8)
b3)  retta parallela al PV
La situazione è analoga alla precedente ;anche qui occorre un punto ausiliario Q per definire la prima traccia della retta (fig9)
b4)  retta su un piano perpendicolare alla L di T
In questo caso le due tracce r1 ed r2 si trovano allineate perpendicolarmente alla L di T e la retta non è definita (tutte le rette giacenti su detto piano hanno le stesse tracce. Occorre allora definire un punto ausiliario e ribaltare sul PL per individuare la terza traccia t3 della retta. (fig10)
b5)  retta parallela alla L di T
Le due tracce sono parallele alla L di T e passano per le proiezioni P’e P”di un punto (fig11)
Rette parallele presentano tracce parallele

 

 

      b6) APPARTENENZA DI UN PUNTO AD UNA RETTA
Un punto P appartiene ad una retta r se le sue proiezioni si trovano entrambe sulle tracce r1 ed r2 della retta stessa. (fig. 12)
b7) RETTE INCIDENTI
Due rette sono incidenti quando i punti di incontro delle rispettive tracce  stanno sulla stessa verticale cioè definiscono un punto comune.

• POSIZIONAMENTO DI UN PIANO (fig.13)

d1) Posizionamento di un piano qualsiasi
Viene individuato dalle rette intersezioni con il PO ed il PV che sono dette “tracce” del piano e sono caratterizzate dall’avere un punto in comune sulla linea di terra.
d2) Piano orizzontale 
Viene individuato dall’unica traccia sul PV parallela alla LdT     
d3) Piano parallelo alla LdT
Viene individuato dalle 2 tracce entrambe parallele alla LdT.
d4) Piano verticale
Entrambe le tracce sono perpendicolari alla LdT
d5) Piano ortogonale al PV
La prima traccia è perpendicolare alla LdT
d6) Piano ortogonale al PO
La seconda traccia è perpendicolare alla LdT
Piani paralleli presentano tracce parallele, piani ortogonali presentano tracce perpendicolari tra loro.

• APPARTENENZA DI UNA RETTA AD UN PIANO

Una retta appartiene ad un piano se i suoi punti di intersezione con i piani principali giacciono sulle tracce del piano: esistono infiniti piani ai quali la retta appartiene(fig.14)

• APPARTENENZA DI UN PUNTO AD UN PIANO

Un punto appartiene ad un piano se appartiene ad una retta che, a sua volta, appartiene al piano. Per appartenere al piano il punto dovrà avere le proiezioni su quelle  di una retta che appartenga al piano cioè abbia le sue tracce su quelle del piano. (fig15 e 15a)

• PIANO PASSANTE PER DUE RETTE INCIDENTI

Date le due rette  a1(a’1 ,a”1) ed a2(a’2,a”2)che si incontrano nel punto P(P1,P2)si determinano le tracce delle due rette T1(T’1,T”1) e T2(T’2,T”2): le tracce del piano passeranno rispettivamente per T’1,T”1 e T’2,T”2(fig.15b)

• RETTA INTERSEZIONE DI 2 PIANI

I punti P1 eP2 di incontro tra le tracce dei 2 piani appartengono alla retta data e giacciono rispettivamente sul PO e sul PV :sono quindi le tracce della retta data .La costruzione è immediata (fig 15c)

VERE DIMENSIONI DELLE GRANDEZZE
Nella rappresentazione di elementi in proiezioni ortogonali, se l’elemento rappresentato non si trova in un piano parallelo ad uno dei piani principali, la sua proiezione su questi risulta di scorcio, pertanto le dimensioni   non sono quelle reali.
Occorre quindi determinare le vere dimensioni dell’oggetto rappresentato: operazione che si effettua ribaltando l’elemento su un piano parallelo ad uno dei piani principali : la lunghezza dell’elemento ribaltato sarà la vera lunghezza cercata.

• A titolo di esempio consideriamo un segmento A B definito (fig 16) dalle sue proiezioni A’B’ ed

A”B” nessuna delle 2 proiezioni definisce la vera lunghezza che si otterrà invece ribaltando la
proiezione A”B” sul piano p perpendicolare al piano verticale  e passante per B”. Si otterrà così il segmento A”’ B”sul PO mentre su PV si avrà il segmento B’ A”’2 che definisce la vera lunghezza .
Con procedure analoghe si può trovare la vera dimensione di figure piane : in fig. 17 e fig. 18 sono presentate le vere forme di un triangolo e di una circonferenza posti su un piano ortogonale al PV .

 

 

SEZIONI
Interessano in particolare intersezioni di figure solide con piani.

• Se il solido considerato è prismatico o è una piramide la sezione verrà definita da un poligono i cui vertici si ottengono determinando le intersezioni del piano sezionante con gli spigoli del solido.L’operazione è molto semplice se il piano sezionante è ortogonale al PO o al PV; Se invece il piano è un piano qualsiasi occorre fare riferimento ad un piano ausiliario ortogonale al pioano sezionante e ad uno dei piani principali e ribaltare il solido su questo piano: si potrà poi ricavare le intersezioni ricadendo nel caso precedente.

La vera forma delle sezioni così ottenute si ottiene ribaltando il piano di sezione sul piano principale  ad esso ortogonale o su un piano parallelo a quest’ultimo.
In fig. 19 è presentata la sezione di una piramide a base quadrata con un piano ortogonale al PV e la relativa vera forma della sezione ottenuta.
In fig. 20 è presentata la sezione ,sempre con un piano ortogonale al PV di un prisma esagonale mentre in fig.  20A è presentata la sezione dello stesso prisma con un piano qualsiasi.

• Se il solido considerato è un cono od un cilindro la sezione è una curva che si ottiene per punti     considerando le intersezioni delle generatrici del cono o del cilindro con il piano .

In particolare sono interessanti le sezioni di un cono circolare retto con un piano ortogonale al PV che definiscono curve dette “coniche” che sono rispettivamente l’ellisse se il piano intersecante è in posizione da formare con l’asse del cono un angolo maggiore della sua semiapertura , la parabola se il piano è parallelo ad un generatrice del cono cioè se forma con l’asse un angolo eguale alla semiapertura  e l’iperbole se il piano è parallelo all’asse del cono o comunque forma con l’asse un angolo minore della semiapertura. Se poi il piano passa per il vertice la conica degenera in una coppia di rette parallele. In fig. 21 sono presentate le costruzioni per punti delle tre coniche.
Interessanti sono anche le sezioni di un cono o di un cilindro obliqui con piani. Si tratta di curve ottenibili per punti con la medesima costruzione utilizzando generatrici e piani ausiliari.(fig. 22A e 22B).
Infine ,sempre utilizzando lo stesso metodo si possono trovare le curve di intersezione tra solidi:
in fig. 23  è rappresentata l’intersezione di un cilindro con un tronco di cono.
c)  Come ultima applicazione può essere interessante lo sviluppo piano di superfici solide: lo sviluppo di superfici prismatiche definisce un poligono che ha per base il perimetro del poligono e per altezze le altezze degli spigoli corrispondenti.
Lo sviluppo di un cilindro è ovviamente un rettangolo avente come base lo sviluppo della circonferenza e come altezza l’altezza del cilindro Lo sviluppo della circonferenza si può ottenere “linearizzando” la circonferenza : procedura che consiste nel dividere la circonferenza in un numero di parti sufficientemente alto in modo che i singoli archi possano essere confusi con la corda che ne unisce gli estremi il metodo è ovviamente  approssimato e permette lo sviluppo di tutti i solidi a base circolare ed anche ellittica. In fig.24 è presentato lo sviluppo di un a tubazione con derivazione di diametro minore facente un dato angolo con l’asse della tubazione principale: la intersezione dei due solidi costituisce l’elemento che permette lo sviluppo.