Le nane bianche

3.1 La fase di pre-nana bianca

La quasi totalità delle  stelle termina la propria evoluzione come nana bianca; per comprendere meglio le caratteristiche di questa fase evolutiva accennerò in maniera estremamente sintetica all’evoluzione precedente. L’evoluzione di una stella è determinata principalmente dalla sua massa ed in modo meno stringente dalla sua composizione chimica. Le stelle nascono dalla contrazione di una parte di una nube di gas (composta principalmente di H ed He) che si arresta quando temperatura e densità centrali raggiungono valori che permettono l’innesco delle combustioni nucleari. La pressione del gas caldo controbilancia allora la forza di gravità e l’energia prodotta nuclearmente supplisce alle perdite di energia dovute all’irraggiamento di fotoni (luminosità) della stella. In realtà, in queste fasi, dette stop nucleari, la contrazione non è arrestata ma procede secondo tempi scala di combustione nucleari (ad es. per 1 M  in  combustione di idrogeno è dell’ordine dei miliardi di anni). Più una  stella è massiccia, più è luminosa e quindi i tempi evolutivi sono più brevi.
Oltre  a questo, in certe fasi evolutive può intervenire un altro fenomeno a bloccare la contrazione, ovvero la degenerazione elettronica, in questo caso la pressione esercitata dagli elettroni degeneri controbilancia la forza di gravità. Stelle con masse maggiori di circa 1/10 M riescono durante la contrazione iniziale a raggiungere temperature sufficienti ad innescare la combustione dell’idrogeno entrando così nella fase più lunga della vita di una stella: la sequenza principale (o main sequence = MS). Al termine di tale fase la stella avrà esaurito l’idrogeno al centro e proseguirà la combustione di idrogeno in shell attorno ad un nucleo inerte di elio (fase di gigante rossa = RGB) finché, se la massa della stella è maggiore di circa 0.5  M , si raggiungeranno al centro le temperature sufficienti per l’innesco della combustione dell’elio in carbonio ed ossigeno. Al termine della combustione centrale di elio la stella prosegue l’evoluzione bruciando l’elio in shell ed accrescendo così il nucleo di carbonio ed ossigeno (fase di ramo asintotico AGB). L’ evoluzione successiva dipende ancora una volta dalla massa: se al termine della fase di AGB (in cui la stella è soggetta a perdite di massa) la stella ha massa minore di ~ 1.4 M , ovvero minore del limite di Chandrasekhar, che è la massa al di sopra della quale non può esistere una struttura degenere stabile, la stella termina la sua evoluzione come nana bianca di  carbonio ed ossigeno. Se invece la massa della stella è maggiore del limite di Chandrasekhar ma comunque inferiore a circa 7 M , la stella esplode tramite la deflagrazione del carbonio, cioè l’esplosione della struttura è provocata dall’innesco della combustione del carbonio in ambiente degenere che produce un rilascio di energia maggiore dell’energia di legame gravitazionale. In fase di nana bianca quando le reazioni nucleari della stella sono spente o fortemente inefficienti la stella raffredda a raggio costante percorrendo nel diagramma HR una retta che viene detta “curva di raffreddamento” (vedi figura 2). Stelle con massa compresa all’incirca tra 7 e 10 M  possono arrivare alla formazione del neon, a questo punto però, la temperatura e la densità centrali sono tali da dar luogo ad una stella con nucleo degenere di ossigeno e neon, o diventano efficienti meccanismi di cattura elettronica e la struttura implode e viene distrutta. Le stelle più massicce invece, la cui massa iniziale  è maggiore di circa 10 M, proseguono la loro evoluzione effettuando tutte le fusioni esoenergetiche fino a sintetizzare il ferro, dopo di che non essendo più sorrette da combustioni nucleari contraggono ed esplodono come supernovae di tipo II. Quanto detto fino adesso è illustrato schematicamente in figura 2 in cui è mostrata l’evoluzione del diagramma HR di stelle massa diversa. Con diagramma HR intendiamo un grafico  in cui sono riportate due osservabili fondamentali per lo studio dell’evoluzione stellare: la luminosità L della stella  in funzione della temperatura superficiale (od effettiva). Poiché ogni stella irraggia con buona approssimazione come corpo nero, si può usare  la relazione di Stefan -Boltzmann per definire la temperatura effettiva Teff della stella come funzione della sua luminosità e del  suo raggio                                 

L = 4p R² s T4eff                                                                                               (1)

dove s è la costante di Stefan-Boltzmann. Luminosità e temperatura effettiva sono grandezze teoriche, ciò che si osserva sperimentalmente è invece la magnitudine apparente in certi intervalli di frequenza a cui sono sensibili gli strumenti di misura ed il colore della

Figura 2. Tracce evolutive di stelle di varia massa nel diagramma HR.  Le linee più spesse indicano le fasi di combustione centrale (da Castellani, Astrofisica Stellare, 1985)

stella (vedi appendice).  Quindi, accanto al diagramma L-Teff cosiddetto “teorico” esiste un diagramma HR “osservativo”cioè il diagramma colore – magnitudine in cui viene riportata la magnitudine apparente in una data banda in funzione dell’indice di colore (vedi appendice).  Per poter effettuare il confronto tra i dati teorici e quelli sperimentali si devono convertire la luminosità e la temperatura effettiva nelle magnitudini nelle diverse bande. A tale scopo vengono usati dei modelli di atmosfera stellare completamente teorici  o semiempirici che forniscono l’intensità della luce emessa nelle varie bande in funzione della composizione chimica, della gravità superficiale, della luminosità e della temperatura della stella. In figura 2 vengono mostrati i possibili cammini evolutivi che una stella di data massa può compiere. Si noti come al crescere della massa la stella sperimenti la fase di sequenza principale a luminosità e temperature effettive maggiori ed allo stesso tempo la fase di RGB diventi sempre più breve  per sparire addirittura nel caso di una stella molto massiccia maggiore od uguale a circa 25 M . Si può vedere come la stella durante le fasi di combustione centrale, si sposti in generale verso temperature effettive più alte, mentre durante le fasi  di combustione a shell (AGB, RGB) la struttura una volta raggiunte temperature effettive più basse, evolve mantenendo tale temperatura pressoché costante raggiungendo alte luminosità. Si può notare anche che le nane bianche si dispongono su di una sequenza  a raggio costante e che maggiore è la massa della nana bianca minore è la luminosità e maggiore la temperatura effettiva a cui si colloca la sua sequenza. Questo è dovuto, come spiegherò più in dettaglio nel paragrafo successivo alla relazione peculiare tra massa e raggio esistente per queste stelle.   

3.2 La struttura delle nane bianche

Nei prossimi due paragrafi descriverò la struttura e l’evoluzione di una tipica nana bianca di disco galattico nelle vicinanze del Sole, cioè quelle per cui abbiamo dati osservativi che ci permettono di costruire una funzione di luminosità. Dato che sono interessata alla funzione di luminosità metterò in evidenza le incertezze nelle caratteristiche delle nane bianche che potrebbero riflettersi in incertezze sui tempi evolutivi. La massa media stimata per le nane bianche locali risulta circa 0.6 M  (vedi ad esempio Fontaine et al. 2001). Sono stelle molto compatte,  che sono stimate presentare densità centrali dell’ordine di circa 107  gr/cm³  e quindi  valori elevati della gravità superficiale (accelerazione di gravità superficiale  ~ 108 ¸ 109 cm s-2). Le nane bianche coprono un ampio intervallo in temperature effettive che va da circa 150000 K per le più calde a circa 4000 K per le più fredde e degeneri ed un altrettanto ampio intervallo di luminosità che va da 10²- 10³ luminosità solari (Lž) per quelle appena entrate in sequenza di raffreddamento a circa 10-4.7 Lž per quelle più deboli che si riescono ad osservare. Sebbene la maggior parte delle nane bianche presenti un nucleo di carbonio ed ossigeno, esistono nane bianche di ossigeno, neon, magnesio e nane bianche di elio. Le nane di quest’ultimo tipo osservabili derivano da stelle che durante la fase di RGB hanno perso gran parte dell’inviluppo e non sono riuscite ad innescare la combustione centrale dell’elio.  Nane bianche derivanti da stelle con massa inferiore a quella minima per l’innesco dell’elio (0.5 M vedi   paragrafo 3.1) non sono invece osservabili perché stelle di tale massa evolvono molto lentamente e quindi la loro età sarebbe maggiore dell’età dell’universo attuale.
A causa dell’elevata accelerazione gravitazionale superficiale le nane bianche in curva di raffreddamento presentano in prima approssimazione una struttura stratificata: un’atmosfera di puro idrogeno ed uno strato sottostante di puro elio. Al di sotto dell’atmosfera si trova un nucleo degenere composto da carbonio ed ossigeno che contiene quasi tutta la massa della stella.  Prima dell’ingresso in curva di raffreddamento, invece, l’inviluppo non è ancora completamente separato chimicamente e nell’inviluppo ricco di idrogeno sono ancora presenti anche i metalli. Lo spessore dell’elio viene stimato tra circa  10-6 a circa  10-2  della massa totale  (Bradley & Winget 1994, Nitta & Winget 1998), mentre lo spessore di idrogeno tra meno di  10-5 fino a circa 10-3 della massa totale (si veda ad es. J.C. Clemens 1993). La determinazione di tali spessori risulta quindi, abbastanza incerta ed a causa dell’importanza dei meccanismi di opacità che avvengono nell’inviluppo, che determinano la regolazione del flusso uscente dalla stella e delle combustioni nucleari residue,  potrebbero influenzarne il raffreddamento. In ogni caso esiste sicuramente un limite superiore dell’inviluppo di idrogeno per cui la stella può entrare in sequenza di raffreddamento (si veda ad es. D’Antona & Mazzitelli 1990, Romaniello 1992) .

Figura 3: log(dt/dlog(L/L)) (indice del tempo necessario a percorrere un certo intervallo di luminosità) in  funzione della luminosità per una nana bianca di ~ 0.6 M   con due valori estremi dell’inviluppo di H di massa rispettivamente di 1.4 ´ 10-5 M   (linea continua) e 1.76 ´10—4 M   (linea tratteggiata) (da Coraggio 2002, tesi di laurea).

Per ogni massa del nucleo esiste, infatti, un valore massimo della massa dell’inviluppo di idrogeno oltre il quale la stella alla base dell’inviluppo di idrogeno raggiunge la temperatura per l’innesco della combustione dell’idrogeno in ambiente degenere tramite flash del CNO e di conseguenza non entra in sequenza di raffreddamento. È stato mostrato (Coraggio 2002) che per una nana bianca con massa tipica di ~ 0.6 M e Z = 0.02, il limite superiore risulta circa 0.00017 M  a logL/L=1.Tale limite dipende comunque dalla massa e dalla metallicità della stella. Il limite inferiore dello spessore dell’inviluppo di idrogeno può assumere un qualsiasi valore fino  ad essere pressoché nullo (e quindi la stella avrà in questo caso un inviluppo di solo elio). La figura 3 mostra le derivate dei tempi di raffreddamento per una nana bianca con massa tipica di ~0.6 M  in funzione della luminosità per due valori dell’inviluppo di idrogeno pari a 1.76 ´10—4   M (linea tratteggiata) e 1.4 ´ 10-5 M   (linea continua). Come si nota non ci sono differenze significative nei tempi di raffreddamento, ciò significa che il limite superiore dell’inviluppo di idrogeno è già sufficientemente piccolo e quindi un’ulteriore diminuzione non influenza significativamente i tempi di raffreddamento.
Sebbene, come già detto, la maggioranza delle nane bianche possieda uno strato esterno di idrogeno (nane DA), vi è tuttavia un discreto numero di nane bianche, non-DA, che hanno invece perso tale strato di idrogeno e presentano quindi un’atmosfera ricca di elio o di altri elementi. Ad esempio vi sono delle nane bianche con atmosfera di elio (nane DO) molto calde (T > 45000 K)  che oltre a presentare righe di assorbimento caratteristiche dell’elio ionizzato (HeII) mostrano anche righe di assorbimento del carbonio (vedi figura 4), vi sono inoltre anche nane bianche che pur non mostrando righe dell’ HeI a causa della minore temperatura (T £ 10000K) presentano righe del carbonio atomico sia nel visibile che nell’UV (nane DQ) (vedi figura ).  Da osservazioni condotte  sull’atmosfera delle nane bianche  emerge che tale composizione non rimane sempre la stessa durante l’evoluzione  delle stelle non DA ma cambierebbe a causa della presenza di fenomeni come la diffusione ed il rimescolamento convettivo (Fontaine et al. 2001). La determinazione della composizione chimica è molto importante perché questi strati anche se sono sottili possiedono un’elevata opacità e regolano di conseguenza il flusso di fotoni uscente dalla stella e quindi i tempi di raffreddamento. Hansen (1999),  fa comunque notare che tali cambiamenti nella composizione chimica dovrebbero avvenire a temperature effettive relativamente alte

Figura 4 : (sinistra) Sequenza di quattro spettri di nane bianche DO calde (1.4 ´ 105 < T< 5.3 ´104) che risultano caratterizzate da righe di He II (Balmer a e b ) e righe del CIV. (destra): Sequenza di quattro spettri di nane bianche DQ, in questo caso sono evidenti righe CI.  In entrambe le figure gli spettri sono stati normalizzati e traslati verticalmente di 1.0) (da Holberg, Barstow, Burleigh, 2002).

(maggiori di 10000 K) e quindi non sono fondamentali perché le nane bianche trascorrono la maggior parte della loro evoluzione a temperature minori.  La diversa natura della materia presente nel nucleo e nell’inviluppo dà luogo a meccanismi di trasporto energetico differenti: conduzione, radiazione (ed eventualmente convezione) Si noti che anche gli strati più esterni  devono essere trattati in modo preciso per elaborare modelli accurati di nane bianche.
Gli elettroni degeneri del nucleo  fanno sì che il canale principale  del trasporto sia la conduzione, la conducibilità di questi elettroni è talmente elevata che il nucleo risulta sostanzialmente isotermo.  In generale la conduzione risulta scarsamente inefficiente nelle stelle ad esempio nel centro del Sole il cammino libero medio del fotone è di circa 0.005cm mentre quello degli elettroni è di circa 7 ordini di grandezza inferiori e poiché la conducibilità termica h può essere espressa nel seguente modo:

                                                                                                  (2)

dove ne è la densità elettronica, le il cammino libero medio dell’elettrone, me la massa dell’elettrone, kB la costante di Boltzmann. Da questa relazione si vede come la conducibilità  e quindi il trasporto  conduttivo sia trascurabile. Nel caso di una nana bianca, a causa della materia fortemente degenere presente nel nucleo, il canale di trasporto privilegiato è la conduzione, infatti mentre il cammino libero medio del fotone all’interno di una nana bianca con luminosità tipica del cutoff è dell’ordine di 10-7 cm, quello dell’elettrone risulta dell’ordine del cm (ovvero superiore di circa 10 ordini di grandezza rispetto a quello dell’elettrone nel Sole). Tali valori sono possibili perché gli elettroni degeneri vanno ad occupare le singole cellette elementari  dello spazio delle fasi riducendo la probabilità di interazione ed aumentando significativamente il cammino libero medio.
Per alte temperature effettive la parte più esterna dell’inviluppo delle nane bianche risulta radiativa, mentre a temperature effettive più basse, a mano a mano che procede il raffreddamento diventa sempre più importante la convezione.

3.3 Evoluzione delle nane bianche

Una nana bianca è una stella composta per almeno il 99% da materia degenere e che ha le combustioni  nucleari spente o largamente inefficienti. La stella dopo una prima fase di contrazione dell’inviluppo non degenere, non può più sfruttare  in  maniera efficiente  nemmeno  l’energia  gravitazionale a  causa  della   pressione   dovuta agli elettroni  degeneri  che   impedisce  ulteriori    contrazioni   del nucleo, e  quindi  può solamente raffreddarsi. Le strutture  degeneri come le nane bianche sono sorrette da un  sistema di equazioni politropico da cui si ricavano nel caso non relativistico le seguenti relazioni dove M ed R sono rispettivamente la massa ed il raggio totale e rc  la densità centrale:

                                
MR³ = costante  e rc ~ M²                                                                                       (3)   

Si  deduce quindi, che all’aumentare della massa aumenta la densità ed allo stesso tempo  diminuisce il raggio della struttura.  Aumentando la massa diminuisce la luminosità ed aumenta, come si può vedere dalla figura 2,  la temperatura superficiale della sequenza a raggio costante in cui si colloca la nana bianca.
La nana bianca una volta raggiunto il raggio corrispondente alla sua massa, raffredda percorrendo una retta nel diagramma HR detta  sequenza di raffreddamento. Man mano che la nana bianca procede lungo tale sequenza a raggio costante, diminuisce la sua luminosità e la sua temperatura effettiva.  Di conseguenza l’evoluzione di una nana bianca è caratterizzata da un progressivo raffreddamento che terminerà quando, per un’età maggiore a quella attuale dell’universo essa sarà diventata un corpo in equilibrio con il fondo cosmico. La velocità di raffreddamento dipende da vari fattori tra cui, come già detto, la composizione chimica dell’inviluppo che influenza i meccanismi di interazione fotone-materia (opacità) e quindi determina la velocità con cui viene persa energia. Oltre a ciò l’eventuale presenza di residue  fonti di energia può intervenire a ritardare l’entrata in sequenza di raffreddamento ed a rallentare il raffreddamento una volta che la stella è entrata in sequenza. Ad esempio se la stella ha un inviluppo sufficientemente massiccio o ricco di metalli, accade che prima del raffreddamento la stella contragga il suo inviluppo non degenere provocando così una riaccensione della shell di idrogeno tramite il ciclo CNO (vedi appendice) come è illustrato in figura 5 portando, inoltre, ad una variazione della composizione chimica dell’inviluppo stesso.

Figura 5: Principali fasi evolutive rappresentate nel diagramma HR per una nana bianca con massa M = 0.603 M e Z = 0.02 (da Coraggio 2002,  tesi di laurea).

Dalla figura 5, che  mostra l’evoluzione di una nana bianca con massa pari a 0.603 M  e Z = 0.02,  si può vedere come per gran parte del raffreddamento rimangano attive  varie shell: nelle fasi iniziali è accesa la shell di elio che si spegne attorno a logL/L ~ 1 e logTeff ~ 4.85; poi si accende quella di idrogeno intorno logL/L ~ 0 e logTeff ~ 4.6 attraverso la catena p-p (vedi appendice) che si spegne a basse luminosità (logL/L ~ - 4.2) e basse temperature effettive (logTeff  ~ 3.65). Con le combustioni a shell la nana bianca, pur non riuscendo a supplire alle perdite per irraggiamento, riesce comunque a rallentare il raffreddamento. Tale raffreddamento è caratterizzato alle alte luminosità da perdita di energia dovuta all’emissione dei neutrini che diventa, in certe fasi, superiore a quella dei fotoni e raggiunge il massimo a logL/L ~ 0.3 e logTeff  ~ 4.7. Infatti, quando la stella si è da poco collocata sulla sequenza di raffreddamento è ancora piuttosto calda, ma già molto densa; ciò fa si che si formino nella parte centrale della stella neutrini da oscillazione del plasma che sottraggono energia alla stella. Una volta terminato il raffreddamento dovuto ai neutrini, la nana bianca entra in una fase di raffreddamento termico dal momento che gli elettroni sono già nel loro stato di minima energia essendo degeneri. La stella perde, quindi, in primo luogo l’energia di agitazione termica degli ioni, poi il calore latente di liquefazione, e da ultimo il calore latente di cristallizzazione che porta alla solidificazione della materia presente nel nucleo. Il rilascio di calore latente durante la fase di cristallizzazione del nucleo porta ad un considerevole rallentamento del processo di raffreddamento che per una nana bianca con massa tipica che giunge a logL/ Lž £ -5.5 produce un ritardo di circa 1 Gyr .
Al termine di quest’ultima fase la nana bianca ha pressoché esaurito la sua riserva termica e si porta verso l’estremità più fredda della sequenza di raffreddamento, al termine della quale raggiunge, in tempi maggiori dell’età attuale dell’universo, lo stato di nana nera, ovvero un oggetto cristallizzato in equilibrio con il fondo cosmico.