Fisica calori specifici dei gas perfetti

CALORI SPECIFICI DEI GAS PERFETTI

Il primo principio della termodinamica permette di capire perché, a parità di massa e di aumento di temperatura non è la stessa cosa scaldare un gas a volume costante a pressione costante. Infatti nel primo caso tutto il calore va ad incrementare l’energia interna del gas; nel secondo una parte del calore serve a far compiere al gas un lavoro esterno e perciò ne occorre di più.

Vogliamo mostrare che esiste una relazione tra l’energia interna e i calori specifici dei gas perfetti.
Sappiamo che il calore specifico di una sostanza è definito come:

Nel caso dei gas la (1) viene modificata, esprimendo la variazione di temperatura nella scala assoluta, ovvero sostituendo Dt con DT, e riferendo il calore specifico non più all’unità di massa della sostanza ma a 1 mole di gas. Pertanto la (1) diventa:

Poiché il calore non è una funzione di stato, quando un gas scambia calore, la quantità di calore scambiata sarà diversa a seconda del tipo di trasformazione termodinamica alla quale il gas è sottoposto; in particolare, risultano interessanti i due casi in cui lo scambio di calore avviene rispettivamente a pressione costante e a volume costante. Definiamo:


Per calcolare cp e cv mediante la (3) e la (4) dobbiamo scrivere il primo principio della termodinamica (5) Q = DU+L tenendo conto che l’energia interna per N molecole di un gas monoatomico può essere scritta nel seguente modo:

(6)   U=Ec=3/2NKT=3/2nRT      e quindi:       (7)    DU = 3/2nRDT

Sostituendo La (7) nella (5) otteniamo:

(8)  Q =3/2nRDT + L

Sostituendo la (8) nella (4), tenendo presente che quando V=cost    L = 0, si ricava:

• Cv=3/2 R

Tale relazione mostra che il calore specifico a volume costante di un gas perfetto non solo è indipendente dalla temperatura, ma è lo stesso per tutti i gas. Ricordiamo che il valore riportato vale per i gas monoatomici (He, Ne…) per i quali l’energia interna è solo energia cinetica traslazionale. Tenendo conto della cosiddetta relazione di Mayer Cp-Cv = R (vedi L.Miano- Fisica vol.2 - Atlas) si ricava che Cp = 5/2R. Infine sostituendo la (9) nella (7) otteniamo che:

(10)   DU = nCvDT

La (10) è l’espressione generalmente usata per il calcolo della variazione dell’energia interna di un gas perfetto. Allora il primo principio della Td lo scriviamo nella forma

• Q = nCvDT + L

Se avessimo scelto un gas biatomico invece di uno monoatomico, essendo in questo caso:

avremmo ottenuto per il calore specifico a volume costante il valore Cv = 5/2R  e Cp = 7/2 R. Per i gas poliatomici si vedano
i valori riportati nella tabella seguente: