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In questa sezione vogliamo cominciare a studiare la statica, ossia quella parte della meccanica che si occupa dell'equilibrio dei corpi. Partiremo con lo studio dell'equilibrio dei corpi per traslazioni. Un corpo subisce una traslazione quando ogni suo punto si sposta della stessa quantità nella stessa direzione e nello stesso verso, in altre parole quando ogni suo punto è sottoposto allo stesso vettore spostamento.
In fisica giocano un ruolo importante i cosiddetti corpi rigidi. Un corpo rigido è un corpo che non si può deformare, ossia un corpo in cui ogni punto mantiene nel tempo la stessa distanza da ogni altro punto del corpo. In generale studiare il moto o l'equilibrio di un corpo rigido può non essere banale se il corpo rigido non ha forma regolare. Se però il corpo rigido ha forma regolare (ad esempio sferica) si può immaginare tutta la massa del corpo concentrata in un punto che è il centro di simmetria del corpo (nell'esempio della sfera, il suo centro). Questo centro di simmetria va anche sotto il nome di baricentro.
Lo studio del moto oppure dell'equilibrio del corpo rigido viene in questo modo ridotto allo studio del moto oppure dell'equilibrio di un particolare punto dotato di massa, ossia di un particolare punto materiale. In queste lezioni useremo sempre per semplicità questo modello del punto materiale, ossia immagineremo tutta la massa M del corpo rigido concentrata nel baricentro che pertanto risulterà sottoposto a una forza-peso totale pari a M · g, dove g = 9.8 N / kg. Più in generale, si può utilizzare il modello del punto materiale quando il corpo è molto più piccolo delle dimensioni fisiche che caratterizzano il problema e quando le direzioni di tutte le forze agenti sul corpo si incontrano in un unico punto.
Anche nel linguaggio di tutti i giorni diciamo che un corpo è in equilibrio quando non si muove. Cerchiamo ora di tradurre questa definizione a parole di equilibrio in formule matematiche, limitandoci per il momento alle traslazioni. Abbiamo visto che le forze hanno effetti dinamici, ossia sono in grado di mettere in movimento i corpi ai quali sono applicate. Per avere equilibrio per traslazioni è perciò necessario che la somma vettoriale di tutte le forze applicate al corpo in esame sia uguale a 0:
Ad esempio consideriamo due squadre che giocano a tiro alla fune: se una squadra applica una forza diretta orizzontalmente da destra a sinistra di intensità F e la squadra avversaria applica una forza di ugual intensità F, ma diretta orizzontalmente da sinistra a destra, avremo che la somma dei due vettori forza, uguali ed opposti, è uguale a zero e la fune risulta perciò in equilibrio.
Se ragioniamo in termini di componenti dei vettori avremo che, per avere equilibrio, la somma di tutte le componenti orizzontali dei vettori forza deve essere uguale a zero, così come deve essere uguale a zero la somma di tutte le componenti verticali dei vettori forza. Vedremo nelle prossime sezioni varie applicazioni di questo concetto.
Abbiamo visto nella sezione precedente che la condizione di equilibrio per traslazioni è l'annullamento della forza totale (detta anche risultante) applicata al corpo. Vediamo quali conseguenze ha questa condizione di equilibrio. Supponiamo che ci sia una forza che agisce su un corpo. Evidentemente il corpo non è in equilibrio. Come facciamo a ripristinare la condizione di equilibrio? Possiamo aggiungere una seconda forza uguale ed opposta alla prima, ossia una forza con ugual direzione, uguale intensità ma verso opposto. Una forza con queste caratteristiche è detta forza equilibrante.
Un esempio in cui entra in gioco la forza equilibrante è quello di un corpo posto su un tavolo. Sappiamo che ogni corpo dotato di massa è soggetto a una forza-peso. Perché allora il corpo risulta essere in equilibrio? Evidentemente perché esiste una forza in grado di equilibrare la forza-peso del corpo: il tavolo, con la sua presenza, esercita una forza sul corpo uguale ed opposta alla forza-peso. Questa particolare forza equilibrante prende il nome di reazione vincolare del piano:
Ovviamente la forza peso di un corpo può essere equilibrata anche per mezzo di più forze, come nel caso dell'insegna in figura tenuta in equilibrio grazie alla tensione esercitata da due fili:
Usando la regola del parallelogramma è facile verificare graficamente che la somma vettoriale delle due tensioni esercitate dai fili obliqui è esattamente uguale alla forza-peso dell'insegna. In questo modo la risultante di tutte le forze è uguale a zero e l'insegna risulta in equilibrio.
Consideriamo un piano inclinato di altezza AC = h e lunghezza AB = l, come nella seguente figura dove, per semplicità, un carrello di massa m è rappresentato da un quadrato.
Quando l'attrito è assente, la forza totale che agisce sul carrello è data dalla componente parallela della forza-peso LM = m · g, dove g = 9.8 N / kg. La componente perpendicolare al piano della forza-peso è infatti compensata dalla reazione vincolare del piano inclinato. È facile rendersi conto che i triangoli ABC ed LMN sono simili, pertanto hanno i lati in proporzione, in particolare AB : LM = AC : LN da cui l : mg = h : LN. La componente parallela della forza-peso, che provoca lo scivolamento del corpo lungo il piano, viene pertanto ad essere uguale a LN = mgh / l.
È interessante considerare due casi limite.
Un piano inclinato (ad esempio una strada in salita o in discesa) può essere caratterizzato dalla sua pendenza percentuale, definita come il rapporto tra i due cateti del triangolo ABC, moltiplicato per 100: pendenza percentuale = AC / BC · 100.
La forza equilibrante nel caso di un piano inclinato sarà una forza diretta lungo il piano inclinato, avente la stessa intensità della componente parallela della forza-peso LN e verso opposto. Nella prossima sezione allestiremo un esperimento che ci consentirà di equilibrare con un dinamometro la componente parallela della forza-peso. In questo modo andremo anche a misurare in maniera indiretta l'intensità della componente parallela della forza-peso.
Risposta: Siccome la componente perpendicolare della forza-peso è equilibrata dalla reazione vincolare del piano, rimane attiva la componente parallela della forza-peso. Tale componente è uguale a 40 N. Pertanto sappiamo che 40 = m · g · h / l da cui possiamo ricavarci il valore della massa posta sul piano: m = 40 · l / (g · h) = 40 · 0.6 / (9.8 · 0.4) kg = 6.12 kg.
Risposta: Per risolvere questo esercizio dobbiamo procedere alla scomposizione delle forze 1 e 2. La forza 1 è inclinata di 45° rispetto all'orizzontale. Pertanto le sue componenti lungo x e y saranno uguali tra loro: F1x = F1y = 7.05 / 1.41 N = 5 N. Più complicata è invece la scomposizione della forza 2. Siccome l'angolo è di 30°, il triangolo in figura risulta essere la metà di un triangolo equilatero di lato 10 N. Pertanto la componente verticale della forza 2 è la metà del lato, mentre quella orizzontale è uguale all'altezza del triangolo equilatero. Il risultato della scomposizione è F2x = 0.866 · 10 N = 8.66 N mentre F2y = 10 / 2 N = 5 N. Notiamo che F1y = F2y. Dal momento che queste due componenti sono uguali come intensità ma opposte come verso, il corpo non trasla lungo l'asse verticale. Affinché il corpo non trasli neanche lungo l'asse orizzontale è necessario che l'intensità di F3 uguagli la somma delle componenti orizzontali delle altre due forze, ossia F3 = F1x + F2x = (5 + 8.66) = 13.66 N.
Risposta: Si tratta ancora una volta di invertire la formula che ci dà la componente parallela della forza-peso per trovare il peso P = m · g dell'oggetto. Avremo 5 N = P · h / l da cui otteniamo 5 = P · 30 / 70. Si tratta di un'equazione di primo grado in P che può essere risolta moltiplicando per 70 e dividendo per 30 entrambi i membri dell'uguaglianza: P = 70 · 5 N / 30 = 11.67 N.
Per introdurre il concetto di momento di una forza partiamo dalla seguente domanda: perché nelle porte le maniglie sono sempre dalla parte opposta rispetto ai cardini? Supponiamo di voler aprire un vecchio portone poco oliato. Dalla nostra esperienza sappiamo che si fa meno fatica (in altre parole, è sufficiente applicare una forza minore) spingendo il portone dalla parte opposta rispetto ai cardini. Altro esempio che ci può aiutare è quello della chiave inglese e del bullone. Anche in questo caso è molto più facile ruotare il bullone applicando la forza all'estremità del manico della chiave inglese, ossia nel punto più lontano rispetto al punto attorno al quale avviene la rotazione. Da tutti questi esempi ricaviamo che, in presenza di un corpo che può ruotare, gli effetti di una forza applicata al corpo dipendono da tre fattori:
Nella figura riportata sopra O è il punto attorno al quale avviene la rotazione (ad esempio il centro del bullone), b è la distanza tra la retta d'azione della forza e il punto attorno al quale avviene la rotazione. Questa distanza prende anche il nome di braccio della forza. Il momento di una forza M si definisce come il prodotto dell'intensità F della forza per la lunghezza b del braccio: M = F · b. Dal momento che nel Sistema Internazionale la forza si misura in newton e il braccio in metri l'unità di misura del momento della forza è il newton per metro (N · m). Ad esempio, se l'intensità della forza è F = 5 N e il braccio misura b = 6 cm avremo un momento della forza pari a M = 5 N · 0.06 m = 0.3 N · m. Come casi particolari, se la retta d'azione della forza passa per il centro di rotazione O abbiamo che b = 0. In questo caso il momento della forza si annulla e non si verifica alcuna rotazione.
Il momento di una forza è la grandezza che regola i movimenti di rotazione. A questo punto è chiaro che possiamo aumentare il momento M sia aumentando l'intensità della forza F sia aumentando il braccio b: questo è il motivo per cui il portone si apre più facilmente se lo spingiamo dalla parte opposta rispetto ai cardini o per cui il bullone si allenta più facilmente spingendo una chiave inglese all'estremità del manico. Per convenzione si associa un segno alle rotazioni: il momento di una forza è un numero positivo se le rotazioni che esso provoca sono antiorarie, è invece un numero negativo se le rotazioni che esso induce sono orarie. Questa convenzione sarà di fondamentale importanza nella prossima sezione, dove andremo a stabilire quali sono le condizioni di equilibrio di un corpo che può ruotare.
Abbiamo visto che, nel caso dei moti di traslazione, la condizione di equilibrio è data dall'annullarsi della risultante delle forze applicate al corpo. Vogliamo ora chiarire qual è la condizione di equilibrio per un corpo che è libero di ruotare. Abbiamo visto nella precedente sezione che il momento di una forza assume segni positivi o negativi a seconda del senso in cui avviene la rotazione. La condizione di equilibrio per rotazioni è data dall'annullarsi della somma di tutti i momenti che vengono applicati al corpo, ossia: Mtot = M1 + M2 + M3 + ... = 0. Se prescindiamo dai segni, possiamo anche dire che un corpo non ruota quando la somma di tutti i momenti orari applicati al corpo è uguale alla somma di tutti i momenti antiorari. Questa è la condizione di equilibrio per rotazioni.
Come esempio di equilibrio per rotazioni consideriamo una bilancia a bracci diseguali, come nella seguente figura:
Il peso P1 induce una rotazione antioraria di momento M1 = P1 · b1, il peso P2 induce invece una rotazione oraria di momento M2 = - P2 · b2. La bilancia sarà in equilibrio non quando i due pesi sono uguali ma quando si annulla il momento totale: Mtot = M1 + M2 = 0, ossia quando il momento antiorario P1 · b1 è uguale al momento orario P2 · b2.
Quesito: Si consideri l'asta in figura: la stessa forza-peso di intensità P = 30 N viene applicata in due punti posti rispettivamente a b1 = 40 cm a sinistra e a b2 = 20 cm a destra del punto attorno al quale l'asta può ruotare. Si stabilisca dove deve essere posto un ulteriore peso di intensità P3 = 15 N per fare in modo che l'asta rimanga in equilibrio.
Risposta: Tenendo conto che a rotazioni orarie (antiorarie) corrispondono momenti negativi (positivi) avremo che il momento antiorario è M1 = P · b1 = 30 N · 0.40 m = 12 N · m. Il momento orario è invece dato da M2 = - P · b2 = - 30 N · 0.20 m = - 6 N · m. Il momento totale diventa: M = (12 - 6) N · m = 6 N · m. Questo vuol dire che, se non aggiungiamo contrappesi, l'asta tende a ruotare in senso antiorario. Pertanto il peso di P = 15 N dovrà essere posto alla destra del punto di rotazione in modo tale da produrre un momento orario M = - 6 N · m. Se indichiamo con b la distanza cercata, dovremo risolvere la seguente equazione di 1° grado: - 6 N · m = - (15 N) · b da cui b = 6 / 15 m = 0.4 m = 40 cm.
Coppia di forze. Supponete di voler mettere in rotazione la gomma posta sul vostro banco senza nel contempo farla traslare. Una possibilità è quella di applicare alle due estremità della gomma due forze aventi la stessa direzione, la stessa intensità e verso opposto, come nella figura sottostante. Due forze con queste caratteristiche prendono il nome di coppia di forze.
Il fatto che le due forze abbiano uguale intensità garantisce che non ci sia alcun moto di traslazione. Viceversa le due forze generano entrambe una rotazione in senso antiorario. Per esercizio potete provare che il momento totale della coppia è dato da M = F · l dove F è l'intensità delle due forze mentre l è la lunghezza della gomma. Due coppie di forze si dicono equivalenti quando hanno lo stesso momento.
Molte macchine di uso comune si basano sui principi fisici che abbiamo descritto nelle ultime sezioni. Due esempi sono costituiti dalla carrucola e dal verricello illustrati nella seguente figura:
Partiamo dall'analisi della figura di sinistra: una carrucola. In questo caso le forze in gioco sono due: la forza motrice Fm che tende a generare una rotazione antioraria di momento Fm · 2r e la forza-peso Fp che tende a generare una rotazione oraria di momento - Fp · r. Se vogliamo sollevare il peso, il momento della forza motrice deve avere intensità maggiore del momento dovuto alla forza-peso, ossia: Fm · 2r > Fp · r. Dividendo la precedente relazione per r otteniamo che Fm > Fp / 2, in altre parole è sufficiente applicare una forza motrice pari alla metà della forza-peso per riuscire a sollevare il carico.
Un discorso analogo vale nel caso del verricello, riportato nella figura di destra. Il centro di rotazione in questo caso coincide con l'asse del cilindro. La forza-peso genera una rotazione antioraria di momento Fp · r, dove r è il raggio del cilindro. La forza motrice invece genera una rotazione in senso orario di momento - Fm · l, dove l è la lunghezza dell'asta del verricello. Per sollevare il carico, il momento della forza motrice deve avere un'intensità maggiore di quello della forza-peso, ossia Fm · l > Fp · r da cui Fm > Fp · r / l. Per minimizzare la fatica (ossia la forza motrice da applicare) andremo a costruire verricelli con piccoli valori del raggio r e grandi valori della lunghezza dell'asta l. Ad esempio se r = 10 cm e l = 100 cm, sarà sufficiente una forza motrice pari a 1/10 della forza peso per sollevare il carico.
Per concludere questa sezione, vogliamo ricordare come un esempio di verricello presente nella nostra vita di tutti i giorni è costituito dai pedali e dalla ruota dentata della nostra bicicletta: i pedali giocano il ruolo della manovella del verricello, mentre la ruota dentata gioca il ruolo del cilindro del verricello. Per ridurre la fatica e rendere più leggera la pedalata è necessario ridurre il raggio r della ruota dentata.
Esistono tre possibili posizioni di equilibrio di un corpo: equilibrio stabile, equilibrio instabile ed equilibrio indifferente. Vogliamo illustrarle partendo dall'esempio in figura:
La sfera A occupa una posizione di equilibrio stabile: se spostiamo la sfera dalla posizione di equilibrio, lei tende a tornare nella posizione di partenza. La sfera B occupa invece una posizione di equilibrio instabile: se la allontaniamo dalla posizione di equilibrio, la sfera si allontana sempre più dalla posizione di partenza. La sfera C invece occupa una posizione di equilibrio indifferente: se la allontaniamo dalla posizione di partenza lei si sposta per assumere una nuova posizione di equilibrio. Su un piano orizzontale ogni punto corrisponde a una posizione di equilibrio.
In alcune situazioni la posizione del baricentro (ossia il punto in cui possiamo pensare concentrata tutta la massa di un corpo) gioca un ruolo importante nella classificazione delle posizioni di equilibrio. Supponiamo di avere un'asta omogenea. La possiamo appendere ad un punto posto sopra il baricentro, ad un punto posto sotto il baricentro o ad un punto coincidente con il baricentro, come nella figura sottostante:
Nella figura di sinistra il baricentro sta al di sotto del punto di rotazione. La posizione verticale dell'asta è una posizione di equilibrio stabile: infatti se spostiamo l'asta dalla posizione verticale si genera un momento orario che tende a riportare l'asta nella sua posizione di partenza. Nella figura centrale invece il baricentro sta al di sopra del punto di rotazione. L'equilibrio è instabile: infatti se spostiamo l'asta dalla posizione di equilibrio il momento orario tende ad allontanare l'asta dalla posizione di partenza e a rovesciarla. Nella figura a destra invece il baricentro coincide con il punto attorno al quale avviene la rotazione. In questo caso l'equilibrio è indifferente e l'asta tende a rimanere nella nuova posizione in cui è stata portata. Infatti, poiché la retta d'azione della forza-peso passa per il centro di rotazione, abbiamo che il momento della forza-peso è nullo e non si genera alcuna rotazione.
Nella valutazione dell'equilibrio di un corpo assume la sua importanza anche la posizione relativa del baricentro e della superficie d'appoggio. Per avere equilibrio è fondamentale che la verticale passante per il baricentro di un corpo cada all'interno della superficie d'appoggio del corpo stesso. Se invece tale verticale interseca il perimetro della superficie d'appoggio allora l'equilibrio diventa instabile. Se infine la verticale per il baricentro cade fuori dalla superficie d'appoggio del corpo in esame allora la situazione non è più di equilibrio perchè si genera un momento in grado di far ruotare il corpo.
Fonte: http://digilander.libero.it/quantum2008/APPUNTI/Nuova_cartella/Equilibrio.doc
Sito web da visitare: http://digilander.libero.it/quantum2008
Autore del testo: non indicato nel documento di origine
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