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Il termine "frattale" fu coniato da Benoit Mandelbrot nel 1975. Deriva dal latino fractus, participio del verbo frangere, che significa "rompere, frangere". Infatti le immagini frattali sono considerate dalla matematica oggetti di dimensione frazionaria. I matematici avevano iniziato a descrivere i frattali da più di un secolo, ma le loro idee erano state ampiamente ignorate fino a quando Mandelbrot non ha inquadrato l'argomento in una disciplina coerente e ricca di frutti:
"La geometria frattale gioca due ruoli. E' la geometria del caos deterministico e può anche descrivere la geometria delle montagne, delle nuvole e delle galassie".
Gli oggetti frattali sono figure geometriche, esattamente come il cerchio o il triangolo, che possiedono alcune proprietà diverse. Una sostanziale differenza tra un oggetto geometrico euclideo ed un frattale è il modo in cui si costruisce. Quello euclideo con una curva piana, quello frattale, invece, non si basa su di un'equazione, ma su un algoritmo. Ciò significa che si è in presenza di un metodo, non necessariamente numerico, che deve essere utilizzato per disegnare la curva. Inoltre, l'algoritmo non è mai applicato una volta sola: la procedura è iterata un numero di volte infinito: ad ogni iterazione, la curva si avvicina sempre più al risultato finale e dopo un certo numero di iterazioni l'occhio umano non è più in grado di distinguere le modifiche pertanto, quando si disegna concretamente un frattale, ci si può fermare dopo un congruo numero di iterazioni. Una curva si dice frattale se ha la proprietà dell' autosimilitudine: ingrandendo un qualsiasi tratto di curva si visualizza un insieme di particolari altrettanto ricco e complesso del precedente; questo procedimento di "zoom" può proseguire all'infinito. In generale si considera frattale un insieme che goda di tutte o molte delle seguenti proprietà:
I frattali compaiono spesso nello studio dei sistemi dinamici e nella teoria del caos e sono spesso descritti in modo ricorsivo da equazioni molto semplici, scritte con l'ausilio dei numeri complessi il caso occupa un ruolo rilevante e tuttora l’unico strumento capace di fornire una soluzione al problema è la statistica. Il caso può generare irregolarità ed è capace di generare un’irregolarità talmente intensa come quella delle coste, anzi in molte situazioni è difficile impedire al caso di andare al di là delle nostre aspettative. Esistono diverse famiglie di frattali, suddivise in base al grado dei termini dell'equazione generatrice contenuti nell’algoritmo:
Esistono 2 metodi per creare un frattale:
Creazione per sostituzione.
Si inizia da una figura, detta di base, e si sostituisce con un'altra figura, detta il generatore.
Si ripete il procedimento un numero infinito di volte (solo in teoria, in pratica con il computer il procedimento si ripete solo un numero limitato di volte)
Si ottiene un frattale.
Metodo L-system
Permette la costruzione di un frattale attraverso una lista ordinata di operazioni dichiarata secondo un apposito alfabeto.
Oltre alla figura di base, che prende il nome di axiom (assioma), si definiscono un angolo, una riduzione di scala ed almeno una regola per la sostituzione.
Tale sostituzione viene poi applicata alla costruzione iniziale secondo la regola assegnata.
Si ripete il procedimento più volte... ed ecco il frattale.
I frattali e la sezione aurea
La sezione aurea è un numero irrazionale, di solito indicato con la lettera greca phi, pari a 1,61803... Si tratta di un numero irrazionale legato a numerose costruzioni geometriche. La sua particolarità è dovuta al fatto che compare negli ambiti più inaspettati: in botanica, in architettura,
in biologia. In ogni caso è sempre sinonimo di armonia e di bellezza.
La sezione aurea è anche legata al pentagono regolare in quanto la diagonale ed il lato del poligono hanno come rapporto proprio phi. In effetti, più in generale, in un triangolo isoscele con gli angoli alla base pari a 72° il lato e la base hanno come rapporto phi. Si dice allora che il triangolo è aureo. Ogni pentagono contiene un pentagramma, ovvero la stella a cinque punte che si ottiene collegando tutti i vertici del pentagono tramite diagonali.
La forma del pentagramma è riscontrabile molto spesso in natura, come ad esempio in alcune piante grasse.
Vediamo come costruire un merletto di Koch legato alla sezione aurea. Chiameremo il frattale Merletto aureo. L'idea è semplice. Sostituiamo il segmento iniziale con quattro segmenti di uguale ampiezza in modo tale che il triangolo isoscele che si venga a formare sia aureo. Si tratta infatti di un triangolo isoscele con gli angoli alla base pari a 72°. Tralascio volutamente i particolari tecnici della costruzione che in ogni caso è analoga a quella del Merletto di Koch. La particolarità del frattale finale sta nel fatto che tutti i triangoli isosceli che si vengono a formare sono tutti aurei. Nel Merletto di Koch classico invece tutti i triangoli che si venivano a formare erano equilateri.
Costruendo il merletto aureo sui lati del pentagramma del pentagono, otteniamo il seguente frattale, a forma di stella. Caratteristica particolare di questo frattale è quella di contenere infinite copie del pentagono aureo tutte perfettamente incastrate fra di loro.Nella seguente figura le copie del pentagono frattale sono messe in evidenza con colori diversi. In questo modo è possibile osservare che sono presenti i vari passi della costruzione del pentagono frattale. Le parti in grigio corrispondono al passo 0, quelle in rosa al passo 1, quelle in giallo al passo 2 e così di seguito. Si tratta di un vero e proprio riassunto della costruzione del pentagono frattale.
I frattali e la natura
La natura produce molti esempi di forme molto simili ai frattali. Ad esempio in un albero (soprattutto nell'abete) ogni ramo è approssimativamente simile all'intero albero e ogni rametto è a sua volta simile al proprio ramo, e così via; è anche possibile notare fenomeni di auto-similarità nella forma di una costa: con immagini riprese da satellite man mano sempre più grandi si può notare che la struttura generale di golfi più o meno dentellati mostra molte componenti che, se non identiche all'originale, gli assomigliano comunque molto. Secondo Mandelbrot, le relazioni fra frattali e natura sono più profonde di quanto si creda.
« Si ritiene che in qualche modo i frattali abbiano delle corrispondenze con la struttura della mente umana, è per questo che la gente li trova così familiari. Questa familiarità è ancora un mistero e più si approfondisce l'argomento più il mistero aumenta »
Durante una passeggiata in campagna o in un bosco si è immersi nella natura fra montagne, alberi, erbe, fiori di tutti i tipi e di tutte le dimensioni. A parte l'indiscutibile bellezza dell'ambiente, un occhio più esperto può cogliere nella forma di tutti questi oggetti delle curiose proprietà geometriche.
Le forme che si incontrano però non possono essere studiate applicando gli assiomi della geometria euclidea che si insegnano usualmente nelle scuole. Infatti non si tratta (tranne pochissime eccezioni) di enti geometrici nel senso euclideo del termine, ovvero di poligoni o poliedri più o meno regolari.
Tutto cio' che si incontra in natura è molto più complesso, frammentato, frastagliato.
Consideriamo ad esempio una comune felce. La cosa che si nota immediatamente è che una parte della felce è simile a tutta la felce stessa, ovvero è una copia in piccolo della foglia completa. Ed allo stesso modo si può procedere innumerevoli volte fino a ridursi a parti sempre più piccole.
Qquesta proprietà prende il nome di autosimilarità (o autosomiglianza) : una parte dell'oggetto è simile al tutto.
In geometria gli oggetti che sono autosimili vengono definiti frattali e possono essere costruiti seguendo precise regole di tipo matematico.
La felce è un frattale. Si tratta quindi di un oggetto geometrico e come tale si può ottenere usando delle tecniche matematiche.
Le spirali
Le spirali sono alla base del mondo vivente. Il nucleo cellulare è costituito da una lunga catena a spirale, il DNA, riportante l'intero codice genetico. Anche la forma di certi organismi può essere a spirale come quella dell'ammonite, vissuto 300.000.000 di anni fa. Le spirali sono anche alla base dei frattali. Ci sono tre tipi comuni di spirali piane, la più importante delle quali per quanto riguarda i frattali è la spirale logaritmica. Archimede ne scrisse un trattato, "Sulle Spirali". anche nella natura inanimata scopriamo spirali come ad esempio la galassia a spirale.
I frattali e l'uomo
Analogamente, molte strutture del corpo umano riproducono un'organizzazione di tipo frattale. E' interessante notare come tale struttura abbia una giustificazione funzionale: anche in questo caso la natura si organizza in tal modo per ottimizzare il sistema. Per esempio, il sistema vascolare e il sistema respiratorio sono organizzati secondo un modello descrivibile dalla geometria frattale. E la ramificazione del sistema respiratorio secondo il modello frattale permette una più ampia esposizione del sangue all'ossigeno e quindi una maggiore disponibilità di questo per i polmoni. I vasi sanguigni del cuore presentano ramificazioni di tipo frattale. I vasi principali si ramificano in una serie di vasi più piccoli che, a loro volta, si ramificano in vasi di calibro ancora più ridotti.
Un’osservazione dell’intestino tenue a ingrandimenti diversi fa pensare appunto all’autosomiglianza.
I neuroni sono un esempio di struttura frattale. Il corpo cellulare si ramifica in dendriti che si ramificano a loro volta e questa struttura può essere correlata al caos nel sistema nervoso:
I frattali e l'arte
I frattali non sono solo oggetti matematici, privi di ogni attrattiva per chiunque non sia interessato alla materia, ma, grazie alla loro varietà e al loro piacevole aspetto grafico, possonodiventare addirittura oggetto di "arte".
Non è difficile realizzare arte frattale, se attrezzati con il software adeguato: Tierazon, un programma scaricabile dalla sezione Download, consente infatti di creare immagini "artistiche" partendo dai frattali. L'aspetto interessante di questo programma sta nel fatto che gli effetti che vengono applicati ai frattali non sono altro che funzioni matematiche che si "sovrappongono" alla creazione del frattale e fungono quasi da filtri grafici.
I frattali, l’abbiamo detto, nascono da funzioni matematiche, ma possono essere belli come opere d'arte…Ho letto peraltro che le costruzioni di Gaudì e i disegni di Escher ricordano la geometria frattale piuttosto che quella euclidea tradizionale.
Abbiamo sinora visto solo l'aspetto visivo dei frattali. Essendo funzioni matematiche, è altrettanto possibile associarvi una rappresentazione sonora. L'effetto è meno diretto e sicuramente non è altrettanto gradevole.
L'altezza e la durata di una nota è scelta con lo stesso criterio con cui viene scelto il colore nella rappresentazione grafica di un punto. Ascoltando la melodia, ci si accorge di alcune regolarità e della ricorrenza di alcuni temi: è proprio questo che evidenzia l'autosimilarità che è così chiara nelle immagini. Esattamente come nella rappresentazione convenzionale, abbiamo a che fare con un "ordine nel disordine", un caos deterministico
Fonte: http://www.liceograssi.gov.it/%5Bmateriale-vecchio%5D/pagina%20studenti/Relazione%20definitiva.doc
Sito web da visitare: http://www.liceograssi.gov.it
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